【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中,研究三角形和正方形的性質(zhì)時,做了如下探究:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當點D在線段BC上時,
①BC與CF的位置關(guān)系為: ,
②BC,DC,CF之間的數(shù)量關(guān)系為:;(將結(jié)論直接寫在橫線上)
(2)數(shù)學(xué)思考
如圖2,當點D在線段CB的延長線上時,(1)中的①,②結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明.
(3)拓展延伸
如圖3,當點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF于點G,連接GE.若已知AB=2,CD=BC,請直接寫出GE的長.
【答案】
(1)垂直,BC=CF+CD
(2)解:CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.理由如下:
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴∠ABD=∠ACF,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°﹣45°=135°,
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,
∴CD=CF+BC.
(3)解:過A作AH⊥BC于H,過E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,如圖3所示:
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC= AB=2 ,AH= BC= ,
∴CD= BC= ,CH= BC= ,
∴DH= ,
由(2)證得BC⊥CF,CF=BD= ,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四邊形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,
在△ADH與△DEM中, ,
∴△ADH≌△DEM(AAS),
∴EM=DH= ,DM=AH= ,
∴CN=EM= ,EN=CM= ,
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=2 ,
∴GN=CG﹣CN= ,
∴EG= = = .
【解析】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;
所以答案是:垂直;②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
所以答案是:BC=CF+CD;
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
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【題目】△ABC中,點O是AC邊上一個動點,過點O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于E,交∠DCA的平分線于點F.
(1)求證:EO=FO;
(2)當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點E是邊CD上的一點,且BC=EC,CF⊥BE交AB于點F,P是EB延長線上一點,下列結(jié)論:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正確的有 . (填序號)
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【題目】“五一”期間,小明一家乘坐高鐵前往某市旅游,計劃第二天租用新能源汽車自駕出游. 根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)設(shè)租車時間為x小時,租用甲公司的車所需費用為y1元,租用乙公司的車所需費用為y2元,分別求出y1 , y2關(guān)于x的函數(shù)表達式;
(2)請你幫助小明計算并選擇哪個出游方案合算.
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【題目】已知⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d.若直線l與⊙O有交點,則下列結(jié)論正確的是( 。
A.d=rB.d≤rC.d≥rD.d<r
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【題目】最薄的金箔的厚度為0.000000091m,將0.000000091用科學(xué)記數(shù)法表示為( 。
A.9.1×108B.9.1×109C.9.1×10﹣8D.9.1×10﹣9
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【題目】有9名同學(xué)參加歌詠比賽,他們的預(yù)賽成績各不相同,現(xiàn)取其中前4名參加決賽,小紅同學(xué)在知道自己成績的情況下,要判斷自己能否進入決賽,還需要知道這9名同學(xué)成績的( )
A.眾數(shù)
B.中位數(shù)
C.平均數(shù)
D.極差
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【題目】在數(shù)軸上,A所表示的數(shù)為3,點B所表示的數(shù)為4,若⊙A的半徑為2,則點B與⊙A的位置關(guān)系是_____
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【題目】下列計算正確的是( )
A.a2a3=a6
B.(a2)3=a5
C.(﹣2ab)2=4a2b2
D.3a2b2÷a2b2=3ab
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