Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+（a+2）x+2（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點P（m，0）（0＜m＜4），過點P作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點M．

（1）求a的值；

（2）若PN：MN=1：3，求m的值；

（3）如圖2，在（2）的條件下，設動點P對應的位置是P1，將線段OP1繞點O逆時針旋轉得到OP2，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接AP2、BP2，求AP2+ BP2的最小值．

Answer 1

【答案】(1) (2) 3 (3)

【解析】分析：（1）把A點坐標代入可得到關于a的方程，可求得a的值；

（2）由△OAB∽△PAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由條件可得到關于m的方程，則可求得m的值；

（3）在y軸上取一點Q，使，可證得△P2OB∽△QOP2，則可求得Q點坐標，則可把AP2+BP2化為AP2+QP2，利用三角形三邊關系可知當A、P2、Q三點在一條線上時有最小值，則可求得答案．

詳解：（1）∵A（4，0）在拋物線上，

∴0=16a+4（a+2）+2，解得a=-；

（2）由（1）可知拋物線解析式為y=-x2+x+2，令x=0可得y=2，

∴OB=2，

∵OP=m，

∴AP=4-m，

∵PM⊥x軸，

∴△OAB∽△PAN，

∴，即，

∴PN=（4-m），

∵M在拋物線上，

∴PM=-m2+m+2，

∵PN：MN=1：3，

∴PN：PM=1：4，

∴-m2+m+2=4×（4-m），

解得m=3或m=4（舍去）；

（3）在y軸上取一點Q，使，如圖，

由（2）可知P1（3，0），且OB=2，

∴，且∠P2OB=∠QOP2，

∴△P2OB∽△QOP2，

∴，

∴當Q（0，）時QP2=BP2，

∴AP2+BP2=AP2+QP2≥AQ，

∴當A、P2、Q三點在一條線上時，AP2+QP2有最小值，

∵A（4，0），Q（0，），

∴AQ=，即AP2+BP2的最小值為．