Question

13．如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BD是⊙O的直徑時（如圖2），求∠CAD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，由已知條件得出∠ABC=∠CAD，由圓周角定理得出∠ADE=90°，證出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出結(jié)論；
（2）由圓周角定理得出∠BAD=90°，由角的關(guān)系和已知條件得出∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，如圖所示：
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD=90°-∠AED，
∵∠AED=∠ABD，
∴∠AED=∠ABC=∠CAD，
∴∠EAD=90°-∠CAD，
即∠EAD+∠CAD=90°，
∴EA⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠ADB=90°，
∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，
∴4∠ABC=90°，
∴∠ABC=22.5°，
由（1）知：∠ABC=∠CAD，
∴∠CAD=22.5°．

點評 本題考查了切線的判定、圓周角定理、角的互余關(guān)系；熟練掌握切線的判定方法，由圓周角定理得出直角是解決問題的關(guān)鍵．