Question

14．定義：到三角形兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心，如圖，若PA=PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心，已知，如圖，在△ABC中，∠A為直角，BC=5，AB=3．
（1）若△ABC的一個(gè)準(zhǔn)外心P在AC邊上，試用尺規(guī)找出點(diǎn)P的位置（保留痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）求線(xiàn)段PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先正確理解準(zhǔn)外心的定義，然后畫(huà)圖：①點(diǎn)P到A、C兩點(diǎn)距離相等；②P到B、C兩點(diǎn)距離相等．
（2）首先利用勾股定理計(jì)算出AC長(zhǎng)，然后再分三種情況：①PB=BC；②PA=PC；③PA=PB進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：（1）如圖所示；

（2）∵BC=5，AB=3，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
①若PB=BC，設(shè)PA=x，則x²+3²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
即PA=$\frac{7}{8}$，
②若PA=PC，則PA=2；
③若PA=PB，由圖知，在△PAB中，不可能，
綜上PA=2或$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，然后再分類(lèi)討論．