Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+x+b與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）若B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）

①求實(shí)數(shù)b的值；

②如圖1，點(diǎn)E是拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的點(diǎn)，求△CBE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，若拋物線上存在點(diǎn)P，使得P、B、C、D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形，求實(shí)數(shù)b的值．（提示：若點(diǎn)M，N的坐標(biāo)為M（x，y），N（x，y），則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

Answer 1

【答案】（1）①b＝2；②△CBE面積的最大值為1，此時(shí)E（1，2）；（2）b＝﹣1+ 或b＝，（，）

【解析】

（1）①將點(diǎn)B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b即可求b；

②設(shè)E（m，﹣m2+m+2），求出BC的直線解析式為y＝﹣x+2，和過點(diǎn)E與BC垂直的直線解析式為y＝x﹣m2+2，求出兩直線交點(diǎn)F，則EF最大時(shí)，△CBE面積的最大；

（2）可求C（0，b），B（，0），設(shè)M（t，﹣t2+t+b），利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，則分三種情況求解：①當(dāng)CM和BD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，＝，＝0，解得b＝﹣1+；②當(dāng)BM和CD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，＝，＝，b無解；③當(dāng)BC和MD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，＝，＝，解得b＝或b＝﹣（舍）．

解：（1）①將點(diǎn)B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b，

得到0＝﹣4+2+b，

∴b＝2；

②C（0，2），B（2，0），

∴BC的直線解析式為y＝﹣x+2，

設(shè)E（m，﹣m2+m+2），

過點(diǎn)E與BC垂直的直線解析式為y＝x﹣m2+2，

∴直線BC與其垂線的交點(diǎn)為F（，﹣+2），

∴EF＝（﹣+2）＝[﹣（m﹣1）2+]，

當(dāng)m＝1時(shí)，EF有最大值，

∴S＝×BC×EF＝×2×＝1，

∴△CBE面積的最大值為1，此時(shí)E（1，2）；

（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝，

∴D（，0），

∵函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴△＝1+4b＞0，

∴b＞﹣，

∵C（0，b），B（，0），

設(shè)M（t，﹣t2+t+b），

①當(dāng)CM和BD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

C、M的中點(diǎn)為（，），B、D的中點(diǎn)為（，0），

∴＝，＝0，

解得：b＝﹣1+或b＝﹣1﹣（舍去），

∴b＝﹣1+；

②當(dāng)BM和CD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

B、M的中點(diǎn)為（，），C、D的中點(diǎn)為（，），

∴＝，＝，

∴b無解；

③當(dāng)BC和MD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

B、C的中點(diǎn)為（，），M、D的中點(diǎn)為（，），

∴＝，＝，

解得：b＝或b＝﹣（舍）；

綜上所述：b＝﹣1+ 或b＝．