【題目】拋物線y=﹣x2+x+b與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)若B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)
①求實(shí)數(shù)b的值;
②如圖1,點(diǎn)E是拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的點(diǎn),求△CBE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).
(2)如圖2,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,若拋物線上存在點(diǎn)P,使得P、B、C、D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形,求實(shí)數(shù)b的值.(提示:若點(diǎn)M,N的坐標(biāo)為M(x,y),N(x,y),則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,)
【答案】(1)①b=2;②△CBE面積的最大值為1,此時(shí)E(1,2);(2)b=﹣1+ 或b=,(,)
【解析】
(1)①將點(diǎn)B(2,0)代入y=﹣x2+x+b即可求b;
②設(shè)E(m,﹣m2+m+2),求出BC的直線解析式為y=﹣x+2,和過點(diǎn)E與BC垂直的直線解析式為y=x﹣m2+2,求出兩直線交點(diǎn)F,則EF最大時(shí),△CBE面積的最大;
(2)可求C(0,b),B(,0),設(shè)M(t,﹣t2+t+b),利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,則分三種情況求解:①當(dāng)CM和BD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),=,=0,解得b=﹣1+;②當(dāng)BM和CD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),=,=,b無解;③當(dāng)BC和MD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),=,=,解得b=或b=﹣(舍).
解:(1)①將點(diǎn)B(2,0)代入y=﹣x2+x+b,
得到0=﹣4+2+b,
∴b=2;
②C(0,2),B(2,0),
∴BC的直線解析式為y=﹣x+2,
設(shè)E(m,﹣m2+m+2),
過點(diǎn)E與BC垂直的直線解析式為y=x﹣m2+2,
∴直線BC與其垂線的交點(diǎn)為F(,﹣+2),
∴EF=(﹣+2)=[﹣(m﹣1)2+],
當(dāng)m=1時(shí),EF有最大值,
∴S=×BC×EF=×2×=1,
∴△CBE面積的最大值為1,此時(shí)E(1,2);
(2)∵拋物線的對(duì)稱軸為x=,
∴D(,0),
∵函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
∴△=1+4b>0,
∴b>﹣,
∵C(0,b),B(,0),
設(shè)M(t,﹣t2+t+b),
①當(dāng)CM和BD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),
C、M的中點(diǎn)為(,),B、D的中點(diǎn)為(,0),
∴=,=0,
解得:b=﹣1+或b=﹣1﹣(舍去),
∴b=﹣1+;
②當(dāng)BM和CD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),
B、M的中點(diǎn)為(,),C、D的中點(diǎn)為(,),
∴=,=,
∴b無解;
③當(dāng)BC和MD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),
B、C的中點(diǎn)為(,),M、D的中點(diǎn)為(,),
∴=,=,
解得:b=或b=﹣(舍);
綜上所述:b=﹣1+ 或b=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)戶今年1月初以20000元/畝的價(jià)格承包了10畝地用來種植某農(nóng)作物,已知若按傳統(tǒng)種植,每月每畝能產(chǎn)出3000千克,每畝的種植費(fèi)用為2500元;若按科學(xué)種植,每月每畝產(chǎn)量可增加,但種植費(fèi)用會(huì)增加2000元/畝,且前期需要再投入25萬元,花費(fèi)4個(gè)月的時(shí)間進(jìn)行生長環(huán)境的改善,改善期間無法種植.已知每千克農(nóng)作物市場售價(jià)為3元,每月底一次性全部出售,假設(shè)前個(gè)月銷售總額為(萬元).
(1)當(dāng)時(shí),分別求出兩種種植方法下的銷售總額;
(2)問:若該農(nóng)戶選擇科學(xué)種植,幾個(gè)月后能夠收回成本?
(3)在(2)的條件下,假如從2019年1月初算起,那么至少要到何時(shí),該農(nóng)戶獲得的總利潤能夠超過傳統(tǒng)種植同樣時(shí)間內(nèi)所獲得的總利潤?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先閱讀,再解答問題.
恒等變形,是代數(shù)式求值的一個(gè)很重要的方法,利用恒等變形,可以把無理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算,可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式.如當(dāng)x=時(shí),求﹣x2﹣x+2的值,為解答這題,若直接把x=代入所求的式中,進(jìn)行計(jì)算,顯然很麻煩.我們可以通過恒等變形,對(duì)本題進(jìn)行解答.
方法一 將條件變形.因x=,得x﹣1=.再把所求的代數(shù)式變形為關(guān)于(x﹣1)的表達(dá)式.
原式=(x3﹣2x2﹣2x)+2
= [x2(x﹣1)﹣x(x﹣1)﹣3x]+2
= [x(x﹣1)2﹣3x]+2
=(3x﹣3x)+2
=2
方法二 先將條件化成整式,再把等式兩邊同時(shí)平方,把無理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算.由x﹣1=,可得x2﹣2x﹣2=0,即,x2﹣2x=2,x2=2x+2.
原式=x(2x+2)﹣x2﹣x+2
=x2+x﹣x2﹣x+2
=2
請(qǐng)參以上的解決問題的思路和方法,解決以下問題:
(1)若a2﹣3a+1=0,求2a3﹣5a2﹣3+的值;
(2)已知x=2+,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線交軸于A(﹣3,0),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.
(1)求此拋物線的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn),求MA+MB的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)求面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F.
(1)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)如果AB=5,BC=6,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(﹣2,0),B(0,3),C(﹣4,1).以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C',其中點(diǎn)A,B,C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A',B',C'.
(1)畫出△A'B'C',并寫出點(diǎn)A',B',C'的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過點(diǎn)B',B,A三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,長、寬均為3,高為8的長方體容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高為6,繞底面一棱長進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后,水面恰好觸到容器口邊緣,圖2是此時(shí)的示意圖,則圖2中水面高度為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,要在長方形鋼板ABCD的邊AB上找一點(diǎn)E,使∠AEC=150°,應(yīng)怎樣確定點(diǎn)E的位置?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,點(diǎn)在上,且,的平分線交于點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),連結(jié).若四邊形DCFE和△BDE的面積都為3,則△ABC的面積為____.
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