【題目】一透明的敞口正方體容器ABCD﹣A′B′C′D′裝有一些液體,棱AB始終在水平桌面上,容器底部的傾斜角為α(∠CBE=α,如圖1所示).探究 如圖1,液面剛好過棱CD,并與棱BB′交于點Q,此時液體的形狀為直三棱柱,其三視圖及尺寸如圖2所示.

解決問題:
(1)CQ與BE的位置關(guān)系是 , BQ的長是dm;
(2)求液體的體積;(參考算法:直棱柱體積V=底面積SBCQ×高AB)
(3)求α的度數(shù).(注:sin49°=cos41°= ,tan37°=
(4)延伸:在圖4的基礎(chǔ)上,于容器底部正中間位置,嵌入一平行于側(cè)面的長方形隔板(厚度忽略不計),得到圖5,隔板高NM=1dm,BM=CM,NM⊥BC.繼續(xù)向右緩慢旋轉(zhuǎn),當(dāng)α=60°時,通過計算,判斷溢出容器的液體能否達(dá)到4dm3

【答案】
(1)CQ∥BE;3
(2)

解:V= ×3×4×4=24(dm3


(3)

解:在Rt△BCQ中,tan∠BCQ= ,

∴α=∠BCQ=37°.

當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時,如圖3,0°≤α≤37°,

∵液體體積不變,

(x+y)×4×4=24,

∴y=﹣x+3.

當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時,如圖4.同理可得:y= ;

當(dāng)液面恰好到達(dá)容器口沿,即點Q與點B′重合時,如圖5,

由BB′=4,且 PBBB′×4=24,得PB=3,

∴由tan∠PB′B= ,得∠PB′B=37°.

∴α=∠B′PB=53°.此時37°≤α≤53°;


(4)解:當(dāng)α=60°時,如圖6所示,設(shè)FN∥EB,GB′∥EB,過點G作GH⊥BB′于點H.

在Rt△B′GH中,GH=MB=2,∠GB′B=30°,

∴HB′=2

∴MG=BH=4﹣2 <MN.

此時容器內(nèi)液體形成兩層液面,液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱.

∵SNFM+SMBBG= × ×1+ (4﹣2 +4)×2=8﹣

∴V溢出=24﹣4(8﹣ )= ﹣8>4(dm3).

∴溢出液體可以達(dá)到4dm3


【解析】解:(1)CQ∥BE,BQ= =3;
【考點精析】掌握矩形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.

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日期

1日

2日

3日

4日

5日

6日

7日

人數(shù)變化/萬人

+0.5

+0.7

+0.8

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