Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)為的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B在該圖象上，交其對(duì)稱(chēng)軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，連接、．

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式．

（2）若點(diǎn)B在對(duì)稱(chēng)軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

①連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)．

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）①是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為；②見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可得到答案；

（2）①設(shè)，由點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性得到，再由勾股定理得到答案；②設(shè)直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D，求得直線(xiàn)解析式，再結(jié)合題意即可得到答案.

解：（1）∵二次函數(shù)頂點(diǎn)為

∴設(shè)頂點(diǎn)式

∵二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)

∴，解得：

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為

（2）設(shè)

∴直線(xiàn)解析式為：

∵交對(duì)稱(chēng)軸l于點(diǎn)M

∴當(dāng)時(shí)，

∴

∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)

∴，

∴，即

①∵

∴

∴

解得：

∴

∴，

∴，，B

∴，

∴是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為．

②證明：如圖，設(shè)直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D

∵、

設(shè)直線(xiàn)解析式為

∴ 解得：

∴直線(xiàn)：

當(dāng)時(shí)，，解得：

∴

∵，軸

∴垂直平分

∴

∴