Question

求證：對任何整數(shù)a，a^4n+k與a^k的個位數(shù)字相同（n、k都是整數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：尾數(shù)特征

專題：

分析：由于一個整數(shù)n次方的尾數(shù)等于其尾數(shù)n次方的尾數(shù)，所以先分別計(jì)算0-9的n次方尾數(shù)變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)0-9的n次方的尾數(shù)均遵循周期為4的循環(huán)規(guī)律，即可得證．

解答：解：∵0的任何次方都是0，遵循周期為1的循環(huán)規(guī)律，
1的任何次方都是1，遵循周期為1的循環(huán)規(guī)律，
2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，即2的n次方的尾數(shù)依次為2，4，8，6，…，遵循周期為4的循環(huán)規(guī)律，
3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，…，即3的n次方的尾數(shù)依次為3，9，7，1，…，遵循周期為4的循環(huán)規(guī)律，
4¹=4，4²=16，4³=64，4⁴=256，4⁵=1024，…，即4的n次方的尾數(shù)依次為4，6，…，遵循周期為2的循環(huán)規(guī)律，
5的任何次方尾數(shù)都是5，遵循周期為1的循環(huán)規(guī)律，
6的任何次方尾數(shù)都是6，遵循周期為1的循環(huán)規(guī)律，
7¹=7，7²=49，7³=343，7⁴=2401，7⁵=16807，…，即7的n次方的尾數(shù)依次為7，9，3，1，…，遵循周期為4的循環(huán)規(guī)律，
8¹=8，8²=64，8³=512，8⁴=4096，8⁵=32768，…，即8的n次方的尾數(shù)依次為8，4，2，6，…，遵循周期為4的循環(huán)規(guī)律，
9¹=9，9²=81，9³=729，9⁴=6561，…，即9的n次方的尾數(shù)依次為9，1，…，遵循周期為2的循環(huán)規(guī)律，
∴0-9的n次方的尾數(shù)均遵循周期為4的循環(huán)規(guī)律，
又∵任何一個整數(shù)n次方的尾數(shù)等于其尾數(shù)n次方的尾數(shù)，
∴對任何整數(shù)a，a^4n+k與a^k的個位數(shù)字相同（n、k都是整數(shù)）．

點(diǎn)評：本題考查了整數(shù)的尾數(shù)特征，難度中等，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)0-9的n次方的尾數(shù)均遵循周期為4的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．