【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°.得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)用α表示∠ACE的度數(shù);
(3)若使四邊形ABFE是菱形,求α的度數(shù).
【答案】(1)證明見解析;(2)∠ACE==90°﹣;(3)120°.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠BAD=∠CAE,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論;
(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=90°﹣,求得∠BFE=150°,若使四邊形ABFE是菱形,只要四邊形ABFE是平行四邊形即可,得到∠BAE=∠BFE,于是得到結(jié)論.
解:(1)證明:∵ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°,
∴∠BAC=∠DAE=30°,∠BAD=∠CAE=α°,
又∵AB=AC,
∴AB=AC=AD=AE,
在△ABD與△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)解:∵∠CAE=α°,AC=AE,
∴∠ACE=(180°﹣∠CAE)=(180°﹣α°)=90°﹣;
(3)解:∵∠BAD=∠CAE=α°,AB=AC=AD=AE,
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=90°﹣,
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=α°+30°=(α+30)°,
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=360°﹣(α+30)°﹣2(90°﹣)=150°,
∵AB=AE,
∴若使四邊形ABFE是菱形,
只要四邊形ABFE是平行四邊形即可,
∵∠ABD=∠AEC,
∴只要∠BAE=∠BFE,
即(30+α)°=150°,
解得:α°=120°,
即當(dāng)α°=120°時(shí),四邊形ABFE是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑,點(diǎn)D在⊙O上,OD∥BC,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,連接CD交OE邊于點(diǎn)F.
(1)求證:△DOE∽△ABC;
(2)求證:∠ODF=∠BDE;
(3)連接OC.設(shè)△DOE的面積為S.sinA=,求四邊形BCOD的面積(用含有S的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,CE 平分∠ACB,點(diǎn) D 在 CE的延長(zhǎng)線上,連接 BD,過B作BF⊥BC交 CD 于點(diǎn) F,連接 AF,若CF=2BD ,DE:CE=5:8 , BF ,則AF的長(zhǎng)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】疫情期間,“線上教學(xué)”為我們提供了復(fù)習(xí)的渠道.學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生就“你是否喜歡線上教學(xué)”進(jìn)行了問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成如下統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.
調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表
類別 | 非常喜歡 | 喜歡 | 一般 | 不喜歡 |
頻數(shù) | a | 70 | 20 | 10 |
頻率 | 0.5 | b | 0.15 |
調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖
(1)在統(tǒng)計(jì)表中,a= ;b= ;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,對(duì)線上教學(xué)感覺“一般”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為 ;
(3)已知全校共有3000名學(xué)生,試估計(jì)“喜歡”線上教學(xué)的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一邊長(zhǎng)為10m的等邊△ABC游樂場(chǎng),某人從邊AB中點(diǎn)P出發(fā),先由點(diǎn)P沿平行于BC的方向運(yùn)動(dòng)到AC邊上的點(diǎn)P1,再由P1沿平行于AB方向運(yùn)動(dòng)到BC邊上的點(diǎn)P2,又由點(diǎn)P2沿平行于AC方向運(yùn)動(dòng)到AB邊上的點(diǎn)P3,則此人至少要運(yùn)動(dòng)_____m,才能回到點(diǎn)P.如果此人從AB邊上任意一點(diǎn)出發(fā),按照上面的規(guī)律運(yùn)動(dòng),則此人至少走_____m,就能回到起點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形中,點(diǎn)在邊上,,,將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)落在直線上E的點(diǎn)處,則的長(zhǎng)度為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形,,給出如下定義:為圖形上任意一點(diǎn),為圖形上任意一點(diǎn),如果線段的長(zhǎng)度有最小值,那么稱這個(gè)最小值為圖形,的“近距”,記作;如果線段的長(zhǎng)度有最大值,那么稱這個(gè)最大值為圖形,的“遠(yuǎn)距”,記作.
已知點(diǎn),.
(1)(點(diǎn),線段)______,(點(diǎn),線段)______;
(2)一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),若(線段,線段),
①求的值;
②直接寫出(線段,線段)______;
(3)的圓心為,半徑為1.若(線段),請(qǐng)直接寫出(,線段)的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直角三角形的直角頂點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上(點(diǎn)不與點(diǎn)重合,可與點(diǎn)重合),滿足,于點(diǎn),已知,.
(1)若,則___________;
(2)當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí),求的長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)的位置發(fā)生改變時(shí):
①如圖2,的外接圓是否與一直保持相切.說明理由;
②直接寫出的外接圓與相切時(shí)的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F,使FA⊥AE,F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證:BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接ME.求證:①ME⊥BC;②DE=DN.
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