【題目】如圖,AB為⊙O直徑,且弦CD⊥AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作⊙O的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
(1)若EN⊥BC于點(diǎn)N,延長(zhǎng)NE與AD相交于點(diǎn)M.求證:AM=MD;
(2)若⊙O的半徑為10,且cosC =,求切線BF的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)BF的長(zhǎng)為15.
【解析】(1)由AB為⊙O的直徑,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等證得∠C=∠NEB,繼而可證得結(jié)論;(2)由AB為⊙O的直徑,可得∠BDF=90°,由BF是切線,可得∠DBF=∠C,然后由三角函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理,求得BF的長(zhǎng).
(1)證法一:∵∠A與∠C對(duì)同弧BD,∴∠A=∠C
∵CD⊥AB于點(diǎn)E,∴∠CEB=90°.∴∠C+∠CBE=90°.
∵M(jìn)N⊥BC,∴∠ENB=90°.∴∠NEB + ∠CBE =90°.
∴∠C=∠NEB
∵∠NEB=∠AEM,∴∠AEM=∠A.∴AM =ME.
∵∠AEM=∠A,∠MED+∠AEM=90°,
∠EDA+∠A =90°,
∴∠MED=∠EDA.∴ME=MD.∴AM =MD.
證法二:∵∠CDA與∠CBA對(duì)同弧AC,
∴∠CDA=∠CBA
∵CD⊥AB于點(diǎn)E,∴∠AED=90°.
∴∠MED+∠MEA=90°.
∵M(jìn)N⊥BC,∴∠ENB=90°.
∴∠CBA + ∠BEN =90°.
∵∠MEA=∠BEN,∴∠MED=∠CBA.
∴∠MED=∠CDA.∴ME=MD.
∵∠MED+∠AEM=90°,∠CDA+∠A =90°,
∴∠AEM =∠A.∴AM=ME.∴AM =MD.
(2)解:∵BF與⊙O相切于點(diǎn)B,∴AB⊥BF.∴∠ABF=90°.
∵∠C與∠A對(duì)同弧BD,∴∠C=∠A.∴cosA=cosC=.
∴. ∴AF=
∴.
“點(diǎn)睛”此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)等知識(shí).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),C是⊙O上一點(diǎn),∠PCA=∠B.求證:PC是⊙O的切線.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.兩名同學(xué)5次成績(jī)的平均分相同,則方差較大的同學(xué)成績(jī)更穩(wěn)定
B.某班選出兩名同學(xué)參加校演講比賽,結(jié)果一定是一名男生和一名女生
C.學(xué)校氣象小組預(yù)報(bào)明天下雨的概率為0.8,則明天下雨的可能性較大
D.為了解我是學(xué)!瓣(yáng)光體育”活動(dòng)開展情況,必須采用普查的方式
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【題目】手工興趣小組的同學(xué)們將自己制作的書簽向本組的其他成員各贈(zèng)送1個(gè),全組共互贈(zèng)了30個(gè),如果全組有x名同學(xué),則根據(jù)題意列出的方程是( )
A.x(x+1)=30B.2x(x+1)=30C.x(x﹣1)=30D.x(x﹣1)=30×2
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【題目】已知等腰三角形三邊中有兩邊的長(zhǎng)分別為4、9,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為( )
A.13
B.17
C.22
D.17或22
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【題目】已知⊙O的半徑為3,若OP=4,則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是( 。
A.點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B.點(diǎn)P在⊙O外C.點(diǎn)P在⊙O上D.無法判斷
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