【題目】直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.將其繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角),得到Rt.

(1)如圖,當(dāng)邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);

(2)在三角板旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,邊AB所在直線(xiàn)交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn) DDE邊于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)BE.

①當(dāng)時(shí),設(shè)AD=,BE=,求之間的函數(shù)解析式及自變量 的取值范圍;

②當(dāng)時(shí),求AD的長(zhǎng).

【答案】(1);(2)① (0﹤﹤2);②AD=1或.

【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠α=∠B′CB=60°;
(2)①當(dāng)0°<α<90°時(shí),點(diǎn)D在AB邊上(如圖).根據(jù)平行線(xiàn)DE∥A'B'分線(xiàn)段成比例知、及由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,CA=CA',CB=CB',∠ACD=∠BCE由此證明△CAD∽△CBE;根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、直角三角形的性質(zhì)及∠A=30°求得y=x(0<x<2);
②先求得△ABC的面積,再由△CAD∽△CBE,求得BE,分情況討論:當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí),AD=x,BD=AB-AD=2-x;當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),AD=x,BD=x-2.

解:(1)在Rt中,∵∠A=30°,∴

由旋轉(zhuǎn)可知:,,

∴△為等邊三角形.

(2)① 當(dāng)時(shí),點(diǎn)DAB邊上(如圖).

DE,∴ .

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,CA =,CB=, ∠ACD=BCE.

.

∴ △CAD∽△CBE.

.∵∠A=30° ∴ .

(0﹤﹤2)

②當(dāng)時(shí),點(diǎn)DAB邊上

AD=x,,∠DBE=90°.

此時(shí),.

當(dāng)S =時(shí),.整理,得 .

解得 ,即AD=1.

當(dāng)時(shí),點(diǎn)DAB的延長(zhǎng)線(xiàn)上(如圖).

仍設(shè)AD=x,則,∠DBE=90°.

.

當(dāng)S =時(shí),.

整理,得 .

解得 ,(負(fù)值,舍去).

.

綜上所述:AD=1或.

“點(diǎn)睛”本題主要考查旋轉(zhuǎn)、全等三角形、解直角三角形、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例等知識(shí).解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形,分類(lèi)討論.

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1若直線(xiàn)y=mx+1與拋物線(xiàn)y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關(guān)系,求m,n的值;

2若某“路線(xiàn)”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上,它的“帶線(xiàn)”l的解析式為y=2x﹣4,求此“路線(xiàn)”L的解析式;

3當(dāng)常數(shù)k滿(mǎn)足≤k≤2時(shí),求拋物線(xiàn)L:y=ax2+3k2﹣2k+1x+k的“帶線(xiàn)”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積的取值范圍.

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3

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