Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，∠BAD=α，sinα=

5

5

，AB=12．線段BD的長度為：

 

；求線段CD的長度和sin2α的值．

Answer 1

考點：解直角三角形

專題：計算題

分析：作DE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線的定義和性質(zhì)得∠CAD=α，DE=DC，在Rt△ACD中，根據(jù)正弦的定義得sin∠CAD=

CD

AD

=

5

5

，設CD=

5

x，則AD=5x，DE=

5

x，利用勾股定理得AC=2

5

x，再利用面積法得

1

2

DE•AB=

1

2

AC•BD，可計算出BD=6；在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理得（2

5

x）²+（

5

x+6）²=12²，解方程得到CD=

5

x=

18

5

，則BC=CD+BD=

48

5

，然后根據(jù)正弦的定義求sin2α的值．

解答：解：作DE⊥AB于E，如圖，
∵AD平分∠BAC，∠BAD=α，
∴∠CAD=α，DE=DC，
在Rt△ACD中，sin∠CAD=sinα=

CD

AD

=

5

5

，
設CD=

5

x，則AD=5x，DE=

5

x，
∴AC=

AD2-CD2

=2

5

x，
∵S_△ADB=

1

2

DE•AB=

1

2

AC•BD，即

5

x•12=2

5

x•BD，
∴BD=6，
在Rt△ACB中，
∵AC²+BC²=AB²，
∴（2

5

x）²+（

5

x+6）²=12²，解得x₁=

18 5

25

，x₂=-

6 5

5

，
∴CD=

5

x=

18

5

，
∴BC=CD+BD=

48

5

，
∴sin∠BAC=

BC

AB

=

48 5

12

=

4

5

．
即sin2α=

4

5

．
故答案為6．

點評：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．