Question

    如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C(1,1) 為圓心，2 為半徑作圓，交軸于A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P在 ⊙C上．

(1) 求出A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2) 試確定經(jīng)過(guò) A、 B兩點(diǎn)且以點(diǎn) P為頂點(diǎn)的拋物線解析式；

(3) 在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段 OP與CD 互相平分？若存在，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 解：(1) 做CH⊥x軸，H 為垂足，連接CB-----------1分

∵CH=1，半徑CB=2

∴HB=-------------------------------------2分

故-----------------------3分

(2) 由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P 的坐標(biāo)為

(1，3) 或(1，-1)---------------------------------4分

情況一：設(shè)拋物線表達(dá)式y(tǒng)=a(x-1)²+3，

把點(diǎn) 代入上式，解得a=-1．

∴  y=-x²+2x+2-----------------------------------5分

情況二：設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a(x-1)²-1，

把點(diǎn) 代入上式，解得，

------------------------------6分

(3) 假設(shè)存在點(diǎn)D 使線段OP 與CD 互相平分，

則四邊形OCPD 是平行四邊形-

∴PC∥OD且PC=OD

∵PC∥Y軸

∴點(diǎn)D在Y軸上．

又PC=2，

∴OD=2，即D(0，2) 或(0，-2) -

(0，2) 滿足y=-x²+2x+2

(0,-2) 不滿足任何一條拋物線的解析式，

 ∴ 點(diǎn)D(0，2) 在拋物線上．

所以存在D(0，2) 使線段OP 與CD 互相平分