Question

【題目】定義：對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x＜0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y=x﹣1，它的相關(guān)函數(shù)為．

（1）已知點(diǎn)A（﹣5，8）在一次函數(shù)y=ax﹣3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值；

（2）已知二次函數(shù)．

①當(dāng)點(diǎn)B（m，）在這個(gè)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求m的值；

②當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，求函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（﹣，1），（，1}），連結(jié)MN．直接寫出線段MN與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①m=2﹣或m=2+或m=2﹣；②最大值為，最小值為﹣；（3）﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．

【解析】

試題（1）函數(shù)y=ax﹣3的相關(guān)函數(shù)為，將然后將點(diǎn)A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；

（2）二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，①分為m＜0和m≥0兩種情況將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)的關(guān)系式求解即可；②當(dāng)﹣3≤x＜0時(shí)，，然后可 此時(shí)的最大值和最小值，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)，求得此時(shí)的最大值和最小值，從而可得到當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)的最大值和最小值；

（3）首先確定出二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)與線段MN恰好有1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn)、3個(gè)交點(diǎn)時(shí)n的值，然后結(jié)合函數(shù)圖象可確定出n的取值范圍．

試題解析：解：（1）函數(shù)y=ax﹣3的相關(guān)函數(shù)為，將點(diǎn)A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．

（2）二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為 ；

①當(dāng)m＜0時(shí)，將B（m，）代入得，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．

當(dāng)m≥0時(shí)，將B（m，）代入得：，解得：m=2+或m=2﹣．

綜上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．

②當(dāng)﹣3≤x＜0時(shí)，，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，此時(shí)y隨x的增大而減小，∴此時(shí)y的最大值為．

當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，當(dāng)x=0有最小值，最小值為﹣，當(dāng)x=2時(shí)，有最大值，最大值y=．

綜上所述，當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最大值為，最小值為﹣；

（3）如圖1所示：線段MN與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有1個(gè)公共點(diǎn)．

所以當(dāng)x=2時(shí)，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．

如圖2所示：線段MN與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)

∵拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1，∴當(dāng)﹣3＜n≤﹣1時(shí)，線段MN與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)．

如圖3所示：線段MN與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)．

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），∴n=1．

如圖4所示：線段MN與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)．

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣，1），∴+2﹣n=1，解得：n=，∴1＜n≤時(shí)，線段MN與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)．

綜上所述，n的取值范圍是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．