Question

20．有這樣一個(gè)問題：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．請(qǐng)?zhí)骄抗~形的性質(zhì)與判定方法．
小南根據(jù)學(xué)習(xí)四邊形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)箏形的性質(zhì)和判定方法進(jìn)行了探究．
下面是小南的探究過程：
（1）由箏形的定義可知，箏形的邊的性質(zhì)是：箏形的兩組鄰邊分別相等，關(guān)于箏形的角的性質(zhì)，通過測(cè)量，折紙的方法，猜想：箏形有一組對(duì)角相等，請(qǐng)將下面證明此猜想的過程補(bǔ)充完整；
已知：如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，CB=CD．
求證：∠B=∠D．
證明：連接AC，
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}\;AB=AD\\ \;BC=DC\\ AC=AC\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠B=∠D
由以上證明可得，箏形的角的性質(zhì)是：箏形有一組對(duì)角相等．
（2）連接箏形的兩條對(duì)角線，探究發(fā)現(xiàn)箏形的另一條性質(zhì)：箏形的一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線．結(jié)合圖形，寫出箏形的其他性質(zhì)（一條即可）：箏形的兩條對(duì)角線互相垂直．
（3）箏形的定義是判定一個(gè)四邊形為箏形的方法之一．從邊、角、對(duì)角線或性質(zhì)的逆命題等角度可以進(jìn)一步探究箏形的判定方法，請(qǐng)你寫出箏形的一個(gè)判定方法（定義除外），并說明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)圖形，寫出已知求證；然后證明；首先連接AC，由SSS，易證得△ABC≌△ADC，即可證得結(jié)論；
（2）易得箏形的其他性質(zhì)：①箏形的兩條對(duì)角線互相垂直；②箏形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③箏形是軸對(duì)稱圖形等；
（3）由AC是BD的垂直平分線，可得AB=AD，CB=CD．繼而證得結(jié)論．

解答 解：（1）已知：如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，CB=CD．
求證：∠B=∠D．
證明：連接AC，
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}\;AB=AD\\ \;BC=DC\\ AC=AC\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠B=∠D；
故答案為：∠B=∠D．
連接AC，
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}\;AB=AD\\ \;BC=DC\\ AC=AC\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠B=∠D；


（2）箏形的其他性質(zhì)：
①箏形的兩條對(duì)角線互相垂直；
②箏形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
③箏形是軸對(duì)稱圖形．
故答案為：箏形的兩條對(duì)角線互相垂直；

（3）一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形是箏形．
已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC是BD的垂直平分線．
求證：四邊形ABCD是箏形．
證明：∵AC是BD的垂直平分線，
∴AB=AD，CB=CD．
∴四邊形ABCD是箏形．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．屬于新定義類題目，考查了軸對(duì)稱圖形的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．