Question

【題目】如果一個(gè)三角形有一邊上的中線與這邊的長(zhǎng)相等，那么稱這個(gè)三角形為“和諧三角形”．

（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖1中畫一個(gè)以線段AB為一邊的“和諧三角形”；

（2）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，請(qǐng)你判斷△ABC是否是“和諧三角形”？證明你的結(jié)論；

（3）如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路程為S，當(dāng)△AMN為“和諧三角形”時(shí)，求S的值．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；

（2）△ABC是“和諧三角形”，理由見(jiàn)解析；

（3）當(dāng)△AMN為“和諧三角形”時(shí)，S的值為或.

【解析】解：（1）如圖1，

作線段AB的中點(diǎn)O，

②以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，

③在圓O上取一點(diǎn)C（點(diǎn)E、F除外），連接AC、BC．

∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如圖2，∠C=90°，AB=,BC=

，CD=1，在Rt△BCD中，

，∴中線BD=邊AC,

∴△ABC是“和諧三角形”；

（3）易知，點(diǎn)M在AB上時(shí)，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和諧三角形”，

當(dāng)M在BC上時(shí)，連接AC交MN于點(diǎn)E，

（Ⅰ）當(dāng)?shù)走匨N的中線AE=MN時(shí)，如圖，

有題知AC=,MC=2-S，∴MN= (2-s)，CE= (2-S),

∵AE=MN，∴，S=，

（Ⅱ）當(dāng)腰Am與它的中線NG相等，即AM=GN=AN時(shí)，

作NH⊥AM于H，如圖

∵NG=NA, NH⊥AM, ∴GH=AH=GN= ,在Rt△NHA中，

在Rt△NHM中，tan∠HMN=;

在Rt△AME中, tan∠AME ; ;

。

綜上，S=或時(shí)