【題目】如圖1,拋物線與軸于點兩點,與軸交于點.直線經(jīng)過點,與拋物線另一個交點為,點是拋物線上一動點,過點作軸于點,交直線于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當點在直線上方,且是以為腰的等腰三角形時,求點的坐標;
(3)如圖2,連接,以點為直角頂點,線段為較長直角邊,構(gòu)造兩直角邊比為1:2的,是否存在點,使點恰好落在直線上?若存在,請直接寫出相應(yīng)點的橫坐標(寫出兩個即可);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)的坐標是或;(3)點的橫坐標為-3或2或、.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;
(2)先把C點代入直線CD中求出m的值,表示P(m,-m2+2m+3)、E(m,-m+3),
當△CPE是以CE為腰的等腰三角形時,分兩種情況:
①當CE=CP時,過C作CG⊥PF于G,根據(jù)OC=FG列方程解出即可;
②當CE=PE時,先表示CE、EG、CG的長,利用勾股定理得:CG2+EG2=CE2,列方程解出即可;
(3)先根據(jù)點P在拋物線上,G在直線y=x上設(shè)P(m,-m2+2m+3),G(a,a),
如圖3,作輔助線,構(gòu)建兩個相似三角形,證明△PHG∽△BNP,則,由兩直角邊比為1:2列方程組解出橫坐標m;
如圖4,同理列方程組解出m的值.
解: ⑴將A(-1,0),C(0,3)代入得
解得:
所以拋物線的解析式是;
⑵把代入直線得:,∴直線的解析式為:,
設(shè),
①當時,如上圖,在圖1中做輔助線,過作于,
∴,
∵,∴,∴,∵,
∴,解得:,
當時,,∴,
②當時,在中,,,
由勾股定理得:,,解得:(舍),,
當時,,∴,綜上所述,當是以為腰的等腰三角形時,點的坐標是或;
(3)
設(shè)P(m,-m2+2m+3),G(a,a),
如圖3,過B作BN∥y軸,過P作PH∥x軸,交于N,過G作GH⊥PN,垂足為H,則∠PHG=∠BNP=90°,
∴∠NBP+∠BPN=90°,
∵∠BPG=90°,
∴∠BPN+∠NPG=90°,
∴∠NBP=∠NPG,
∴△PHG∽△BNP,
∴,
∵,
∴,
∴
則,
解得:m1=-3,m2=2;
如圖4,過P作NH∥x軸,過G作GN⊥NH,過B作BH⊥NH,垂足分別為N、H,
同理得:△PNG∽△BHP,
∴,
∴解得:m=
綜上所述,相應(yīng)點的橫坐標為-3或2或、.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是_____.①在同一平面內(nèi),a,b,c為直線,若a⊥b,b⊥c,則a∥c.②“若ac>bc,則a>b”的逆命題是真命題.③若M(a,2),N(1,b)關(guān)于x軸對稱,則a+b=﹣1.④一個多邊形的邊數(shù)增加1條時,內(nèi)角和增加180°,外角和不變.⑤的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則ab=3﹣3.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線y=x與雙曲線y=(k>0,x>0)交于點A.過點A作AC⊥x軸于點C,過雙曲線上另一點B作BD⊥x軸于點D,作BE⊥AC于點E,連接AB.若OD=3OC,則tan∠ABE=______.
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【題目】某校為了解八年級男生“立定跳遠”成績的情況,隨機選取該年級部分男生進行測試,以下是根據(jù)測試成績繪制的統(tǒng)計圖表的一部分.
成績等級 | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
優(yōu)秀 | 15 | 0.3 |
良好 | ||
及格 | ||
不及格 | 5 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題
(1)被測試男生中,成績等級為“優(yōu)秀”的男生人數(shù)為 人,成績等級為“及格”的男生人數(shù)占被測試男生總?cè)藬?shù)的百分比為 %;
(2)被測試男生的總?cè)藬?shù)為 人,成績等級為“不及格”的男生人數(shù)占被測試男生總?cè)藬?shù)的百分比為 %;
(3)若該校八年級共有180名男生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計該校八年級男生成績等級為“良好”的學生人數(shù).
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【題目】如圖,是半徑為4的的內(nèi)接三角形,連接,點分別是的中點.
(1)試判斷四邊形的形狀,并說明理由;
(2)填空:①若,當時,四邊形的面積是__________;②若,當的度數(shù)為__________時,四邊形是正方形.
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【題目】如圖,是半徑為4的的內(nèi)接三角形,連接,點分別是的中點.
(1)試判斷四邊形的形狀,并說明理由;
(2)填空:①若,當時,四邊形的面積是__________;②若,當的度數(shù)為__________時,四邊形是正方形.
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【題目】數(shù)學老師拿出四張卡片,背面完全一樣,正面分別畫有:矩形、菱形、等邊三角形、圓背面朝上洗勻后先讓小明抽出一張,記下形狀后放回,洗勻后再讓小亮抽出一張請你計算出兩次都抽到既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率是( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于C,D兩點,與x,y軸交于B,A兩點,CE⊥x軸于點E,且tan∠ABO=,OB=4,OE=1.
(1)求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式
(2)求△OCD的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時,自變量x的取值范圍.
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【題目】如圖,已知△ABC(AC<AB<BC),請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī),按下列要求作圖(不要求寫作法,但要保留作圖痕跡):
(1)在邊BC上確定一點P,使得PA+PC=BC;
(2)作出一個△DEF,使得:①△DEF是直角三角形;②△DEF的周長等于邊BC的長。
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