Question

如圖，四邊形A₁A₂A₃A₄內(nèi)接于一圓，△A₁A₂A₃的內(nèi)心是I₁，△A₂A₃A₄的內(nèi)心是I₂，△A₃A₄A₁的內(nèi)心是I₃．
求證：（1）A₂、I₁、I₂、A₃四點共圓；（2）∠I₁I₂I₃=90°．

Answer 1

證明：（1）如圖，連接I₁A₁，I₁A₂，I₁A₃，I₂A₂和I₂A₃，
∵I₁是△A₁A₂A₃的內(nèi)心，
∴∠I₁A₁A₂=∠I₁A₁A₃=∠A₂A₁A₃，
∠I₁A₂A₁=∠I₁A₂A₃=∠A₁A₂A₃，∠I₁A₃A₁=∠I₁A₃A₂=∠A₁A₃A₂，
延長A₁I₁交四邊形A₁A₂A₃A₄外接圓于P，則
∠A₂I₁A₃=∠A₂I₁P+∠PI₁A₃=∠I₁A₁A₂+∠I₁A₂A₁+∠I₁A₁A₃+∠I₁A₃A₁
=（∠A₂A₁A₃+∠A₁A₂A₃+∠A₂A₃A₁）+∠A₂A₁A₃=90°+∠A₂A₁A₃，
同理∠A₂I₂A₃=90°+∠A₂A₄A₃，
又∵四邊形A₁A₂A₃A₄內(nèi)接于一圓，
∴∠A₂A₁A₃=∠A₂A₄A₃，
∴∠A₂I₁A₃=∠A₂I₂A₃，
∴A₂、I₁、I₂、A₃四點共圓；
（2）又連接I₃A₄，則由（1）知A₃、I₂、I₃、A₄四點共圓，
∴∠I₁I₂A₃=180°-∠I₁A₂A₃=180°-∠A₁A₂A₃
同理∠I₃I₂A₃=180°-∠I₃A₄A₃=180°-∠A₁A₄A₃，
∴∠I₁I₂I₃=360°-（∠I₁I₂A₃+∠I₃I₂A₃）=（∠A₁A₂A₃+∠A₁A₄A₃）=90°．
分析：（1）連接I₁A₁，I₁A₂，I₁A₃，I₂A₂和I₂A₃，延長A₁I₁交四邊形A₁A₂A₃A₄外接圓于P，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)證明∠A₂I₁A₃=90°+∠A₂A₁A₃，∠A₂I₂A₃=90°+∠A₂A₄A₃，及四邊形A₁A₂A₃A₄內(nèi)接于一圓，可證∠A₂A₁A₃=∠A₂A₄A₃，故∠A₂I₁A₃=∠A₂I₂A₃，得出結(jié)論；
（2）連接I₃A₄，仿照（1）的結(jié)論證明∴∠I₁I₂A₃=180°-∠I₁A₂A₃=180°-∠A₁A₂A₃，以及∠I₃I₂A₃=180°-∠I₃A₄A₃=180°-∠A₁A₄A₃，由∠I₁I₂I₃=360°-（∠I₁I₂A₃+∠I₃I₂A₃）證明結(jié)論．
點評：本題考查了四點共圓的判定與性質(zhì)．只要把握已知條件和圖形特點，借助“四點共圓”，問題是不難解決的．