Question

如圖，在直角梯形ABCD中,AD∥CB, ,動點P從點D出發(fā),沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動,動點Q從點C出發(fā),在線段CB上以每秒一個單位長的速度向點B運動,點P,Q分別從點D,C同時出發(fā),當(dāng)點Q運動到點B時,點P隨之停止運動.設(shè)運動的時間為t（秒）.

（1）設(shè)△BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）當(dāng)t為何值時,四邊形ABQP是平行四邊形.

（3）當(dāng)t為何值時,以B,P,Q三點為頂點的三角形是等腰三角形?

Answer 1

（1）S=96-6t（0≤t＜16）．（2）5;（3）t=或t=

【解析】

試題分析：（1）若過點P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s=PM×QB=96-6t；

（2）當(dāng)四邊形ABQP為平行四邊形時，AP=BQ，即21-2t=16-t，可將t求出；

（3）本題應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，將各數(shù)據(jù)代入，

將時間t求出；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出；

③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出．

試題解析：（1）過點P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形．

∴PM=DC=12，

∵QB=16-t，

∴s=QBPM=（16-t）×12=96-6t（0≤t＜16）．

（2）當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時，AP=BQ，

即21-2t=16-t，

解得：t=5，

∴當(dāng)t=5時，四邊形ABQP是平行四邊形．

（3）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，即3t2-32t+144=0，

此時，△=（-32）2-4×3×144=-704＜0，

所以此方程無解，

∴BP≠BQ．

③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=，t2=16（不合題意，舍去）．

綜上所述，當(dāng)t=或t=時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形．

考點：1.直角梯形；2.等腰三角形的判定；3.勾股定理；4.平行四邊形的判定．