Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中 xOy 中，對(duì)于⊙C及⊙C內(nèi)一點(diǎn) P，給出如下定義：若存在過(guò)點(diǎn) P 的直線 l，使得它與⊙C 相交所截得的弦長(zhǎng)為，則稱點(diǎn) P 為⊙C的“k-近內(nèi)點(diǎn)”．

（1）已知⊙O的半徑為 4，

①在點(diǎn)中，⊙O的“4-近內(nèi)點(diǎn)”是______________；

②點(diǎn) P 在直線y=x上，若點(diǎn) P 為⊙O的“4-近內(nèi)點(diǎn)”，則點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)y的取值范圍是____________；

（2）⊙C的圓心為（-1，0），半徑為 3，直線x 軸，y 軸分別交于 M，N，若線段 MN 上存在⊙C的 “2 -近內(nèi)點(diǎn)”，則 b 的取值范圍是____________．

Answer 1

【答案】（1）①P2，P3.； ②或；（2）或

【解析】

通過(guò)讀題，理解本題的實(shí)質(zhì)強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：

（1）確定點(diǎn)P在圓內(nèi)，即點(diǎn)心距小于半徑.

（2）過(guò)點(diǎn)P的直線截圓所得的弦長(zhǎng)可以取到k.即過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線截圓所得的弦的最小值應(yīng)小于或等于k，數(shù)形結(jié)合，由弦長(zhǎng)公式及其相關(guān)不等式結(jié)合來(lái)計(jì)算求解即可.

解：由于經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線被圓所截的弦的長(zhǎng)度的最大值為直徑，最小值是當(dāng)直線垂直于經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直徑時(shí)弦長(zhǎng)最短.只有當(dāng)最短的弦長(zhǎng)不大于k值時(shí)，弦長(zhǎng)才可能取到k.

（1）①OP1=2，r=4，由弦長(zhǎng)公式得 最短弦長(zhǎng)為,不滿足， OP2=，r=4，由弦長(zhǎng)公式得最短弦長(zhǎng)為,滿足，OP3=，r=4，由弦長(zhǎng)公式得最短弦長(zhǎng)，

滿足，所以⊙O的“4-近內(nèi)點(diǎn)”是P2，P3.

②依題意：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,則OP2=，半徑r=4, 由弦長(zhǎng)公式得最短弦長(zhǎng)且OP2 =< r2=16, 即

解得：或

∵

∴或，

（2）

如圖所示，直線MN，過(guò)圓心C作CD⊥MN，若此時(shí)弦PS=2,∴PD=，

連接PG，則PG=3，由勾股定理得GD=2，

又∵為等腰直角三角形

∴GM=2,

∴OM=ON=2+1，

由（1）可知當(dāng)直線MN向上平移到RT位置恰好與圓C相切時(shí)，GT=3,

∴OT=OR=3+1，

∴

由對(duì)稱性可知

綜上，b的取值范圍為或