Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S．

①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）當(dāng)t=2時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）；當(dāng)t≠2時，不存在，理由見解析；（3）y=﹣x+3；P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）連接PC，交拋物線對稱軸l于點(diǎn)E，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出對稱軸l為直線x=1，分t=2和t≠2兩種情況考慮：當(dāng)t=2時，由拋物線的對稱性可得出此時存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用平行四邊形的性質(zhì)可求出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)；當(dāng)t≠2時，不存在，利用平行四邊形對角線互相平分結(jié)合CE≠PE可得出此時不存在符合題意的點(diǎn)M；

（3）①過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出PF的長度，再由三角形的面積公式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S的最大值，利用勾股定理可求出線段BC的長度，利用面積法可求出P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值，再找出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3；

（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對稱軸l于點(diǎn)E，

∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

當(dāng)t=2時，點(diǎn)C、P關(guān)于直線l對稱，此時存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，

∵拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）；

當(dāng)t≠2時，不存在，理由如下：

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE，

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=1×2﹣0=2，

又∵t≠2，

∴不存在；

（3）①在圖2中，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F．

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），

將B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

得，解得：，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S=PFOB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；

②∵﹣＜0，

∴當(dāng)t=時，S取最大值，最大值為．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴線段BC=，

∴P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為，

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．