【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l,lx軸的交點(diǎn)為D.在直線l上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖2,連接BC,PB,PC,設(shè)PBC的面積為S.

①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;

②求P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.(2)當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6);當(dāng)t≠2時(shí),不存在,理由見(jiàn)解析;(3)y=﹣x+3;P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).

【解析】

1)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式;

(2)連接PC,交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)E,由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出對(duì)稱軸l為直線x=1,分t=2t≠2兩種情況考慮:當(dāng)t=2時(shí),由拋物線的對(duì)稱性可得出此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用平行四邊形的性質(zhì)可求出點(diǎn)P、M的坐標(biāo);當(dāng)t≠2時(shí),不存在,利用平行四邊形對(duì)角線互相平分結(jié)合CE≠PE可得出此時(shí)不存在符合題意的點(diǎn)M;

(3)①過(guò)點(diǎn)PPFy軸,交BC于點(diǎn)F,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式,根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo),進(jìn)而可得出PF的長(zhǎng)度,再由三角形的面積公式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;

②利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S的最大值,利用勾股定理可求出線段BC的長(zhǎng)度,利用面積法可求出P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值,再找出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.

1)將A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,

,解得:,

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3;

(2)在圖1中,連接PC,交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)E,

∵拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,

當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)C、P關(guān)于直線l對(duì)稱,此時(shí)存在點(diǎn)M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,

∵拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6);

當(dāng)t≠2時(shí),不存在,理由如下:

若四邊形CDPM是平行四邊形,則CE=PE,

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0,

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=1×2﹣0=2,

又∵t≠2,

∴不存在;

(3)①在圖2中,過(guò)點(diǎn)PPFy軸,交BC于點(diǎn)F.

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0),

B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,

,解得:,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3,

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,﹣t2+2t+3),

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),

PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,

S=PFOB=﹣t2+t=﹣(t﹣2+

②∵<0,

∴當(dāng)t=時(shí),S取最大值,最大值為

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

∴線段BC=

P點(diǎn)到直線BC的距離的最大值為,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為().

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頻數(shù)分布表

身高分組

頻數(shù)

百分比

x155

5

10%

155≤x160

a

20%

160≤x165

15

30%

165≤x170

14

b

x≥170

6

12%

總計(jì)

100%

(1)填空:a=____,b=____

(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

(3)該校九年級(jí)共有600名學(xué)生,估計(jì)身高不低于165cm的學(xué)生大約有多少人?

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2PA右側(cè)數(shù)軸上的一點(diǎn),MAP的中點(diǎn).設(shè)P表示的數(shù)為x,求點(diǎn)M、B之間的距離;

3)若點(diǎn)C從原點(diǎn)出發(fā)以3個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)D從原點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)?shù)竭_(dá)A點(diǎn)或B點(diǎn)后立即以原來(lái)的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng),直到C點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)或D點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止,求幾秒后C、D兩點(diǎn)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度?

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序號(hào)

直徑長(zhǎng)度/

1)試指出哪件樣品的大小最符合要求?

2)如果規(guī)定誤差的絕對(duì)值在之內(nèi)是正品.誤差的絕對(duì)值在之間是次品,誤差的絕對(duì)值超過(guò)的是廢品,那么上述五件樣品中,哪些是正品,哪些是次品,哪些是廢品?

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請(qǐng)?jiān)趫D1的數(shù)軸上描出三點(diǎn),并直接寫出三數(shù)之間的大小關(guān)系(用“<”連接)

點(diǎn)為數(shù)軸上點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn),且點(diǎn)點(diǎn)的距離是到點(diǎn)距離的倍,求點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的有理數(shù);

點(diǎn)在數(shù)軸上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上分別以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度和個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)(其中),若在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離差始終不變,求的值.

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