【題目】如圖,在直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點D在邊AB上運動,DE平分∠CDB交邊BC于點E,EM⊥BD于M,EN⊥DC于N.
(1)當AD=CD時,求證DE//AC;
(2)當∠MBE與△CNE的某一個內(nèi)角相等時,求AD的長;
(3)當四邊形MEND與△BDE的面積相等時,求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)或;(3)
【解析】試題分析:(1)由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠DCA,由三角形的外角性質(zhì)和角平分線得出得出∠C=∠BDE,即可得出結(jié)論;(2)存在以下兩種情況①當∠B=∠ECN時;②當∠B=∠CNE時,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得;(3)根據(jù)四邊形MEND與△BDE的面積相等,得到△DME與△BME的面積相等.證明△BME∽△BCA,△CDE∽△CBD,即可解答.
試題解析:
(1)證明:∵AD=CD,
∴∠A=∠ACD.
∵∠CDB=∠A+∠ACD,
∴∠CDB=2∠A.
∵DE平分∠CDB,
∴∠BDE=∠CDB=∠A.
∴DE∥AC.
(2)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5.
∵EM⊥BD,EN⊥CD,
∴∠BME=∠CNE=90°.
存在以下兩種情況
①當∠B=∠ECN時
∴CD=BD,
∵∠B+∠A=90°,∠ECN+∠ACD=90°,
∴∠A=∠ACD.
∴CD=AD.
∴AD=BD=.
②當∠B=∠CNE時
∴NE∥AB.
∴∠ADC=∠CNE=90°.
∴∠ADC=∠ACB.
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴.
∴.
(3)∵∠EDN=∠EDM,∠DNE=∠DME=90°,DE=DE,
∴△DNE≌△DME.
∵四邊形MEND與△BDE的面積相等,
∴△DME與△BME的面積相等.
∴DM=BM.
∵EM⊥BD,
∴DE=BE.
∴∠B=∠BDE=∠CDE.
∵∠B=∠B,∠BME=∠ACB=90°,
∴△BME∽△BCA.
∴.
∴.
∵∠DCE=∠DCB,
∴△CDE∽△CBD.
∴.
∴CD=.
∴CE=.
∴BD=.
∴BE=.
∴AD=AB-BD=5-=.
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【題目】如圖,順次連接四邊形ABCD各邊中點得四邊形EFGH,要使四邊形EFGH為矩形,應添加的條件是( )
A.AB∥DC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.AB=DC
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【題目】如圖,在ABCD中,AE⊥BC,交邊BC于點E,點F為邊CD上一點,且DF=BE.過點F作FG⊥CD,交邊AD于點G.求證:DG=DC.
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【題目】下列哪些線段能組成三角形( )
①3cm、3cm、5cm ②3cm、3cm、3cm ③2cm、2cm、4cm ④3cm、5cm、9cm
A.①②B.③④C.①②③D.①②③④
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【題目】江夏某村種植的水稻2010年平均畝產(chǎn)500kg,2012年平均畝產(chǎn)605kg,求該村畝產(chǎn)量的年平均增長率.
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【題目】下列事件是必然事件的是( )
A.明天是晴天
B.有一匹馬的奔跑速度是100米/秒
C.打開電視正在播廣告
D.在地面上向空中拋擲一石塊,石塊終將落下
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【題目】下列說法正確的是( )
A.同圓或等圓中弧相等,則它們所對的圓心角也相等
B.90°的圓心角所對的弦是直徑
C.平分弦的直徑垂直于這條弦
D.三點確定一個圓
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