Question

18．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c與y軸相交于點(diǎn)A（O，4），與x軸相交于點(diǎn)B（3，O）、C（1，O），頂點(diǎn)為M．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)H，與直線AB相交于點(diǎn)N，求證：四邊形MBNC是菱形；
（3）如圖2，若P是以D（-1，O）為圓心，以1為半徑的⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB，求使△PAB面積取得最大值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）根據(jù)解析式的頂點(diǎn)式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得MH=$\frac{4}{3}$，CH=HB=1，根據(jù)Rt△AOB∽R(shí)t△NHB的性質(zhì)求得NH=$\frac{4}{3}$=MH，即可證得四邊形MBNC是平行四邊形（對(duì)角線互相平分），由MN⊥CB，證得四邊形MBNC是菱形；
（3）過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)ED交⊙D于點(diǎn)P，此時(shí)△PAB面積最大，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，-b），其中a，b＞0，作PF⊥x軸于F，則PF=b，DF=a-1，由△PDF∽△BAO，得出$\frac{PF}{BO}$=$\frac{DF}{AO}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{3}=\frac{a-1}{4}=\frac{1}{5}$，即可求得a、b的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（0，4）、B（3，0）、C（1，0）
∴$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}9a+3b+c=0\\ a+b+c=0\\ c=4.\end{array}\right.\end{array}$，
解得，$a=\frac{4}{3}$，b=-$\frac{16}{3}$，c=4．
∴拋物線的解析式為$y=\frac{4}{3}{x^2}-\frac{16}{3}x+4$．
（2）由（1）知，拋物線的解析式為$y=\frac{4}{3}{x^2}-\frac{16}{3}x+4$=$\frac{4}{3}$（x-2）²-$\frac{4}{3}$，
∴M（2，$-\frac{4}{3}$）
∴MH=$\frac{4}{3}$，CH=HB=1，
又AO=4，OB=3
由Rt△AOB∽R(shí)t△NHB，
∴$\frac{NH}{HB}=\frac{AO}{OB}$，
∴NH=$\frac{4}{3}$=MH，
∴四邊形MBNC是平行四邊形（對(duì)角線互相平分），
∵M(jìn)N⊥CB，
∴四邊形MBNC是菱形；
（3）過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)ED交⊙D于點(diǎn)P，
此時(shí)△PAB面積最大，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，-b），其中a，b＞0，
作PF⊥x軸于F，則PF=b，DF=a-1，
∵∠PFD=∠BOA=90°，∠PDF=∠BDE=90°-∠OBE=∠BAO，
∴△PDF∽△BAO，
∴$\frac{PF}{BO}$=$\frac{DF}{AO}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{3}=\frac{a-1}{4}=\frac{1}{5}$，
∴a=$\frac{9}{5}$，b=$\frac{3}{5}$，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{9}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，菱形的判定，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．