Question

3．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B（3，0）．C（0，3），點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P為線段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．若OD=m，△PCD的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？并說(shuō)明理由；
（3）在MB上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為直角三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）把（1）中的一般式配成頂點(diǎn)式可得到M（1，4），設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n，再利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式，則P（m，-2m+6）（1≤m＜3），于是根據(jù)三角形面積公式得到S=-m²+3m，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
（3）討論：∠PDC不可能為90°；當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，易得-2m+6=3，解方程求出m即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，利用勾股定理得到和兩點(diǎn)間的距離公式得到m²+（-2m+3）²+3²+m²=（-2m+6）²，
然后解方程求出滿足條件的m的值即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）S有最大值．理由如下：
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4），
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n，
把B（3，0），M（1，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{k+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線BM的解析式為y=-2x+6，
∵OD=m，
∴P（m，-2m+6）（1≤m＜3），
∴S=$\frac{1}{2}$•m•（-2m+6）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵1≤m＜3，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S有最大值，最大值為$\frac{9}{4}$；
（3）存在．
∠PDC不可能為90°；
當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，則PD=OC=3，即-2m+6=3，解得m=$\frac{3}{2}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，3），
當(dāng)∠PCD=90°時(shí)，則PC²+CD²=PD²，即m²+（-2m+3）²+3²+m²=（-2m+6）²，
整理得m²+6m-9=0，解得m₁=-3-3$\sqrt{2}$（舍去），m₂=-3+3$\sqrt{2}$，
當(dāng)m=-3+3$\sqrt{2}$時(shí)，y=-2m+6=6-6$\sqrt{2}$+6=12-6$\sqrt{2}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3+3$\sqrt{2}$，12-6$\sqrt{2}$），
綜上所述，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，3）或（-3+3$\sqrt{2}$，12-6$\sqrt{2}$）時(shí)，△PCD為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式和三角形面積公式；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．