Question

已知拋物線y=ax²+bx+3交x軸于點A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，OA²+OB²=10，拋物線交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）第一象限內(nèi)，在拋物線上是否存在一點E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出點E的坐標(biāo)；
（3）直線y=kx（k＜0）交直線y=x-3于P，交（1）中拋物線于M，過M作x軸的垂線，垂足為D，交直線y=x-3于N．問：△PMN能否為等腰三角形？若能，求出k的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知得出A點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出G點坐標(biāo)，再利用直線CG解析式聯(lián)立二次函數(shù)解析式求出即可；
（3）利用若△PMN為等腰三角形，k＜0，分三種情況考慮：PM=MN，PM=PN，MN=PN分別得出即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3交x軸于點A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，OA²+OB²=10，
∴OA²+（-1）²=10，
∴OA²=9，AO=±3，
∴A點坐標(biāo)為（3，0），
將A，B代入y=ax²+bx+3得：
，
解得：，
∴y=-x²+2x+3；

（2）∵∠ECO=∠ACB，
∴∠ECA=∠BCO，
過A作AG⊥AC交CE于G，過G作GH⊥x軸于H，
∴Rt△BOC∽Rt△GAC，
∴=，
∴AG=，
由△AOC∽△GHA，
得AH=GH=1，
∴G點坐標(biāo)為（4，1），
∴直線CG的解析式為：y=-x+3，
聯(lián)立y=-x+3與y=-x²+2x+3，求得E（，），

（3）設(shè)直線y=x-3交y軸于F，則OF=OA=3，∠OAF=∠OFA=45°，
∵NM∥CE，∠PNM=∠OFA=45°，
若△PMN為等腰三角形，k＜0，分三種情況考慮：
①若PM=MN，則∠PMN=90°，與k＜0矛盾，舍去，
②若PM=PN，∠PMN=∠PNM=45°，則∠DOM=45°，
∴OD=DM，
∴k=-1，
③若MN=PN，則∠NMP=∠NPM，作PQ⊥y軸于Q，
∵NM∥CF，
∴∠FOP=∠NMP=∠NPM=∠FPO，
∴FP=OF=3，
又∵∠PFQ=45°，∴FQ=PQ=PF=，
OQ=OF-FQ=3-，
∴P（，-3），代入y=kx得，k=1-，
綜上可知當(dāng)k=1-或k=-1，△PMN為等腰三角形．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論求出是這部分考查的重點．