Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A以每秒m個(gè)單位長度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒n個(gè)單位長度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)．
（1）已知運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，B點(diǎn)比A點(diǎn)多運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位；運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，B點(diǎn)與A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和為6個(gè)單位，求m、n；
（2）如圖2，設(shè)∠OBA的鄰補(bǔ)角的平分線、∠OAB的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)P，∠P的大小是否發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．
（3）若∠OBA的平分線與∠OAB的鄰補(bǔ)角的平分線的反向延長線相交于點(diǎn)Q，∠Q的大小是否發(fā)生改變？如不發(fā)生改變，求其值；若發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）已知運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，B點(diǎn)比A點(diǎn)多運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位得n-m=1；運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，B點(diǎn)與A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和為6個(gè)單位，得2n+2m=6可解的n=2，m-1
（2）先求出∠OBA 的鄰補(bǔ)角與∠OAB 的鄰補(bǔ)角的和，求出∠PBA+∠PAB的和，∠P=180°-（∠PBA+∠PAB）
3）若∠OBA的平分線與∠OAB的鄰補(bǔ)角的平分線的反向延長線相交于點(diǎn)Q∠Q的值不變∠OBA+∠O=∠3+∠4；∠1=∠2，∠3=∠4；∠3+∠4=90°+∠1+∠2；∠3=45°+∠2；∠Q=∠3-∠2=45°+∠2-∠2=45°

解答：解：（1）∵已知運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，B點(diǎn)比A點(diǎn)多運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位得n-m=1；運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，B點(diǎn)與A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和為6個(gè)單位∴

n-m=1     2n+2m=6

 解得：

n=2 m=1

；

（2）∠P的大小不變，∠P=45°
∵∠OBA+∠OAB=180°-∠O=90°；∠OBA 的鄰補(bǔ)角與∠OAB 的鄰補(bǔ)角的和為180°-∠OBA+（180°-∠OAB）=360°-90°=270°；
又∵BP平分∠OBA 的鄰補(bǔ)角，PA平分∠OAB 的鄰補(bǔ)角
∴∠PBA+∠PAB=135°
∵∠PBA+∠PAB+∠P=180°
∴∠P=180°-（∠PBA+∠PAB）=180°-135°=45°；

（3）∠Q的大小不變，∠Q=45°
∵∠BAX是△AOB的外角
∴∠BAX=∠O+∠OBA
∵BQ平分∠BAO，AQ平分∠BAX
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠3=

1

2

（∠O+∠OBA）=45°+∠2
∵∠3是△ABQ的外角
∴∠3=∠Q+∠2
∴∠Q=∠3-∠2=45°+∠2-∠2=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)．