Question

2．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度數(shù)；
（2）求證：DF是⊙O的切線；
（3）若AC=2$\sqrt{5}$DE，求tan∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用圓周角定理得出∠CDE的度數(shù)；
（2）直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，進(jìn)而得出答案；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理表示出AD，DC的長，再利用圓周角定理得出tan∠ABD的值．

解答 （1）解：∵對角線AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；

（2）證明：連接DO，
∵∠EDC=90°，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切線；

（3）解：方法一：設(shè)DE=1，則AC=2$\sqrt{5}$，
由AC²=AD×AE
∴20=AD（AD+1）
∴AD=4或-5（舍去）
∵DC²=AC²-AD²
∴DC=2，
∴tan∠ABD=tan∠ACD=$\frac{AD}{DC}$=2；
方法二：如圖所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴$\frac{DC}{AD}$=$\frac{DE}{DC}$，
∴DC²=AD•DE
∵AC=2$\sqrt{5}$DE，
∴設(shè)DE=x，則AC=2$\sqrt{5}$x，
則AC²-AD²=AD•DE，
期（2$\sqrt{5}$x）²-AD²=AD•x，
整理得：AD²+AD•x-20x²=0，
解得：AD=4x或-5x（負(fù)數(shù)舍去），
則DC=$\sqrt{（2\sqrt{5}{x）}^{2}-（4x）^{2}}$=2x，
故tan∠ABD=tan∠ACD=$\frac{AD}{DC}$=$\frac{4x}{2x}$=2．

點(diǎn)評 此題主要考查了圓的綜合以及切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，根據(jù)題意表示出AD，DC的長是解題關(guān)鍵．