Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系，拋物線（，）與軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，過拋物線的頂點(diǎn)P且與軸平行的直線交BC于點(diǎn)D，且滿足BD：CD=3：2，

（1）若∠ACB=90°，求拋物線解析式；

（2）問OC和DP能否相等？若能，求出拋物線解析式，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不能，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理結(jié)合對(duì)稱軸的性質(zhì)得到，BE=AE，設(shè)BE=AE=3m，則OE=2m，AO=m，再證得△AOC∽△COB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，列式可求得的值，即求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）由（1）知：A（-m，0），B（5m，0），可求得拋物線的解析式為，則頂點(diǎn)為P（2m，-9），即EP=9，根據(jù)△BDE∽△BCO求得DE的長，DP的長，從而證明OC和DP不可能相等．

（1）設(shè)直線交x軸于點(diǎn)E，

∵直線∥軸，即DE∥OC，

∴，

∵直線經(jīng)過頂點(diǎn)P，

∴直線是拋物線的對(duì)稱軸，

∴BE=AE，

設(shè)BE=AE=3m，則OE=2m，AO=m，

當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，

∵∠ACO+∠BCO=90，∠ACO+∠CAO=90，

∴∠CAO=∠BCO，

∴△AOC∽△COB，

∴，

故OC=AO·BO，即5=m·5m，

解得或(舍去)，

∴A（，0），B（，0），

將A，B坐標(biāo)代入，

得：，

解得，

故二次函數(shù)的解析式為；

（2）由（1）知：A（-m，0），B（5m，0），

設(shè)二次函數(shù)的解析式為，

將C（0，-5）代入得：，

解得，

∴，

故P（2m，-9），即EP=9，

∵DE∥OC，

∴△BDE∽△BCO，

∴，且OC=5，

∵BD:CD=3:2，

∴DE=，

∴PD=9-3=6，

∵5≠6，

∴OC≠DP，

故OC和DP不可能相等．