Question

17．如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)．將矩形ABCD沿BE翻折，使得點(diǎn)F落在CD上．
（1）求證：△DEF∽△CFB；
（2）若F恰是DC的中點(diǎn)，則AB與BC的數(shù)量關(guān)系是AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$BC；
（3）在（2）中，連接AF，G、M、N分別是AB、AF、BF上的點(diǎn)（都不與端點(diǎn)重合），若△GMN∽△ABF，且△GMN的面積等于△ABF面積的$\frac{1}{2}$，求$\frac{AG}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可判斷．
（2）由BF=2CF推出，∠FBC=30°即可解決問題．
（3）首先證明△ABF、△GMN是等邊三角形，設(shè)AB=a，AG=x，想辦法列出關(guān)于a、x的方程，即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠BFC+∠FBC=90°，
∵矩形ABCD沿BE翻折后，點(diǎn)F落在CD上，
∴∠A=∠EFB=90°，
∴∠EFD+∠BFC=90°
∴∠EFD=∠FBC，
又∵∠C=∠D，
∴△DEF∽△CFB，
（2）∵△BEF是由△BEA翻折得到，
∴BF=AB=CD，
∵DF=FC，
∴BF=2CF，
∴∠FBC=30°，
在RT△BCF中，∵∠C=90°，∠FBC=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$CF，
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$BC．
（3）解：在（2）中有CF=DF，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠D=90°，
在△ADF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠D=∠C}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCF．
∴AF=BF．
由翻折可知：AB=BF．
∴AF=AB=BF，
∴△ABF是等邊三角形．
∵△GMN∽△ABF，
∴△GMN是等邊三角形，
∴∠GMN=60°，MG=MN，
∵∠FMG=∠MAG+∠AGM=∠GMN+∠NMF，
∴∠NMF=∠AGM，
在△AGM和△FMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAG=∠MFN}\\{∠AGM=∠NMF}\\{MG=MN}\end{array}\right.$
∴△AGM≌△FMN，同理△AGM≌△BNG，
∵S_△GMN=$\frac{1}{2}$S_△ABF，
∴S_△AGM=$\frac{1}{6}$S_△ABF
設(shè)AB=a，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△ABF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∴S_△AGM=$\frac{\sqrt{3}}{24}$a²，
設(shè)AG=x，則BG=AM=a-x．
∴M到AB的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），
∴S_△AGM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x （a-x），
∴$\frac{\sqrt{3}}{24}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x （a-x），
整理得到：6x²-6xa+a²=0，
∴x=$\frac{3±\sqrt{3}}{6}$a，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{3±\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)的應(yīng)用，學(xué)會(huì)把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考?jí)狠S題．