【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E,F(xiàn)分別在直線AB,AC上運(yùn)動(dòng),且始終保持AE=CF.
(1)如圖①,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段AB,AC上,求證:DE=DF且DE⊥DF;
(2)如圖②,若點(diǎn)E、F分別在線段AB,CA的延長(zhǎng)線上,(1)中的結(jié)論是否依然成立?說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:如圖①,連接AD,
∵∠BAC=90°,AB=AC,D為BC中點(diǎn),
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°,
∴AD=BD=DC,
在△AED和△CFD中,
,
∴△AED≌△CFD(SAS),
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,
又∵∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠ADE+∠ADF=90°,
∴∠EDF=90°,
∴DE⊥DF
(2)解:若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段AB,CA的延長(zhǎng)線上,(1)中的結(jié)論依然成立,如圖②,
理由:∵∠BAC=90° AB=AC,D為BC中點(diǎn)
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°,
∴AD=BD=DC,
在△AED和△CFD中,
,
∴△AED≌△CFD(SAS);
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,
又∵∠CDF﹣∠ADF=90°,
∴∠ADE﹣∠ADF=90°,
∴∠EDF=90°,
∴DE⊥DF
【解析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=DC,進(jìn)而證明△AED≌△CFD,利用全等三角形的性質(zhì)得出DE=DF,∠ADE=∠CDF進(jìn)而得出△DEF為等腰直角三角形;(2)若點(diǎn)E、F分別在線段AB,CA的延長(zhǎng)線上,(1)中的結(jié)論依然成立,首先利用已知得出AD=BD=DC,進(jìn)而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等腰直角三角形,掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A(m,n)在第四象限,那么點(diǎn)B(n,m)在( 。
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】證明命題“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”,要根據(jù)題意,畫出圖形,并用符號(hào)表示已知和求證,寫出證明過程,下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫出的圖形,并寫出了不完整的已知和求證.
(1)已知:如圖,∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上,
求證: .
請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證
(2)并寫出證明過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某部隊(duì)一位新兵進(jìn)行射擊訓(xùn)練,連續(xù)射靶5次,命中的環(huán)數(shù)分別是0,2,5,2,7.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)分別是( )
A.2,5
B.2,2
C.5,7
D.2,7
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一青蛙從點(diǎn)A(-1,0)處向右跳2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上跳2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)A′處,則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于實(shí)數(shù)m,n,定義一種運(yùn)算“※”:m※n=m2﹣mn﹣3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 0※1=﹣3 B. 方程x※2=0的根為x1=﹣1,x2=3
C. 不等式組 無(wú)解 D. 函數(shù)y=x※(﹣2)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,﹣4)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,從A地到B地的公路需經(jīng)過C地,圖中AC=6千米,∠CAB=15°,∠CBA=30°. 因城市規(guī)劃的需要,將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路.
(1)求改直后的公路AB的長(zhǎng);
(2)問公路改直后該段路程比原來(lái)縮短了多少千米?(結(jié)果保留根號(hào))
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