Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，P為△ABC內(nèi)一點，且∠BAP=70°，∠ABP=40°．
（1）求證：△ABP是等腰三角形．
（2）在BC上方，以BC為邊作等邊三角形BCE，連接EA并延長交BC于M，連接PC，當(dāng)∠PCB=30°時，求證：PC=EA．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠APB，得出∠APB=∠BAP，即可得出答案．
（2）延長CP交BE于N，先證明△BEM≌△BCN再證明△ABM≌△PBN最后證明△EBA≌△CBP即可．

解答 解：（1）在△PAB中，∵∠BAP=70°，∠ABP=40°，
∴∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=70°．
∴∠APB=∠BAP=70°．
∴AB=BP，
即△ABP是等腰三角形．
（2）延長CP交BE于N，
∵△EBC是等邊三角形，
∴EB=EC，∠EBC=∠ECB=∠BEC=60°，
∵AB=AC
∴EA垂直平分BC，
∴∠BEM=∠CEM=30°，
∵∠BCP=30°，
∴∠CNB=90°，
在△BEN和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEM=∠BCN}\\{BE=BC}\\{∠EBM=∠CBN}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△BCN，
∴BN=BM，
在RT△ABM和RT△PBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BP}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△PBN，
∴∠ABM=∠PBN，
∴∠EBA=∠CBP，
在△EBA和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=BC}\\{∠EBA=∠CBP}\\{BA=BP}\end{array}\right.$，
∴△EBA≌△CBP，
∴AE=PC．

點評 本題考查等邊三角形性質(zhì)．全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形全等是解題關(guān)鍵．