Question

5．如圖，四邊形ABEC中，BE=CE，∠BAC=40°，∠CEB=140°，點(diǎn)D為AE上一點(diǎn)，點(diǎn)P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且△PAD是等腰三角形．
（1）求證：AE平分∠CAB；
（2）求∠APD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）關(guān)鍵是作輔助線，作EF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作EG⊥AB交AB于點(diǎn)G，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，找出證明△ECF和△EBG全等的條件，然后根據(jù)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，可以證得結(jié)論成立；
（2）根據(jù)題意可以分兩種情況，分別畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和第一問(wèn)求得的結(jié)論，可以求出∠APD的度數(shù)．

解答 （1）證明：作EF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作EG⊥AB交AB于點(diǎn)G，如下圖一所示，

∴∠ECF=∠EGB=90°，
∵∠BAC=40°，∠CEB=140°，∠CAB+∠B+∠BEC+∠ECA=360°，
∴∠B+∠ECA=180°，
∵∠ECA+∠ECF=180°，
∴∠B=∠ECF，
在△ECF和△EBG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠EFC}\\{∠ECF=∠B}\\{BE=CE}\end{array}\right.$
∴△ECF≌△EBG（AAS）
∴EF=EG，
∵EF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EG⊥AB交AB于點(diǎn)G，
∴AE是∠CAB的平分線，
即AE平分∠CAB；
（2）由題意可得，∠APD存在兩種情況，
第一種情況，當(dāng)AP=PD時(shí)，如下圖二所示，

∵AP=PD，
∴∠DAP=∠ADP，
∵∠BAC=40°，AE平分∠CAB，
∴∠DAP=20°，
∴∠DAP=∠ADP=20°，
∴∠APD=180°-∠DAP-∠ADP=140°；
第二種情況，當(dāng)AD=DP時(shí)，如下圖三所示，

∵AD=PD，
∴∠DAP=∠APD，
∵∠BAC=40°，AE平分∠CAB，
∴∠DAP=20°，
∴∠DAP=∠APD=20°，
即∠APD=20°；
由上可得，∠APD的度數(shù)是140°或20°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出合適的圖形，找出所求結(jié)論或問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．