Question

【題目】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，AE＝ED，DF=DC，連結(jié)EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連結(jié)BE．

（1）求證：△ABE∽△DEF．

（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BG=BC+CG=10．

【解析】

（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得AE：AB=DF：DE，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；

（2）根據(jù)相似三角形的預(yù)備定理得到△EDF∽△GCF，再根據(jù)相似的性質(zhì)即可求得CG的長(zhǎng)，那么BG的長(zhǎng)也就不難得到.

（1）證明：∵ABCD為正方形，

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90 °.

∵AE=ED，

∴AE：AB=1：2.

∵DF=DC，

∴DF：DE=1：2，

∴AE：AB=DF：DE，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD為正方形，

∴ED∥BG，

∴△EDF∽△GCF，

∴ED：CG=DF：CF.

又∵DF=DC，正方形的邊長(zhǎng)為4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=10.