Question

已知：如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，過點D作直線交AB，CA的延長線于點E，F(xiàn)．當(dāng)BE=CF時，求證：AE=AF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點B作BG∥FC，延長FD交BG于點G．由平行線的性質(zhì)可得∠G=∠F，然后判定△BDG和△CDF全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量代換得到BE=BG，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠G=∠BEG，由對頂角相等及等量代換得出∠F=∠AEF，根據(jù)等腰三角形的判定得出AE=AF．

解答：證明：過點B作BG∥FC，延長FD交BG于點G．

∴∠G=∠F．
∵點D是BC的中點，
∴BD=CD． 
在△BDG和△CDF中，

∠G=∠F  ∠BDG=∠CDF  BD=CD

∴△BDG≌△CDF（AAS）．
∴BG=CF．
∵BE=CF，
∴BE=BG．
∴∠G=∠BEG．
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠G=∠AEF．
∴∠F=∠AEF． 
∴AE=AF．

點評：本題考查了全等三角形和等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造等腰三角形，并根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到三角形全等的條件是解題的基本思路．