Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)（＞0）圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．

（1）如圖1，⊙P運(yùn)動(dòng)到與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由．

（2）如圖2，⊙P運(yùn)動(dòng)到與軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)：

①求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．

②在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．若存在，試求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)、正方形；(2)、①、A（0，），B（1，0）C（3，0）；②、（0，），（3，0），（4，），（7，8）．

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)圓與坐標(biāo)軸相等得出∠PAO=∠OKP=90°，又因?yàn)?/span>∠AOK=90°則得出四邊形OKPA是矩形，根據(jù)OA=OK得出正方形；(2)、①、連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為，根據(jù)四邊形為菱形得出△PBC為正三角形，得出PB=PA=x，PG=，根據(jù)sin∠PBG的值得出x的值，從而得到PG、PA、BC的值，得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；②、根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式，然后求出直線BP的解析式，列出方程求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

試題解析：(1)、四邊形OKPA是正方形．

∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°． 又∵∠AOK=90°，

∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四邊形OKPA是矩形．又∵OA=OK，∴四邊形OKPA是正方形．

(2)、①、連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，∴BC=PA=PB=PC．∴△PBC為等邊三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=．sin∠PBG=，即．

解之得：x=±2（負(fù)值舍去）．∴PG=，PA=BC=2．

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．

∴A（0，），B（1，0）C（3，0）．

設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c．據(jù)題意得：

解之得：a=，b=－，c=．

∴二次函數(shù)關(guān)系式為：．

②、設(shè)直線BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得：

解之得：u=，v=-3．∴直線BP的解析式為：．

過(guò)點(diǎn)A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：y=x+．

解方程組： 得：；．

過(guò)點(diǎn)C作直線CM∥PB，則可設(shè)直線CM的解析式為：y=x+t．

∴0=3+t．∴t=－3．∴直線CM的解析式為：y=x－3．

解方程組： 得：；．

綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，8）．