Question

【題目】在直角坐標系中，已知點P是反比例函數（＞0）圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與軸相切，設切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．

（2）如圖2，⊙P運動到與軸相交，設交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時：

①求出點A，B，C的坐標．

②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、正方形；(2)、①、A（0，），B（1，0）C（3，0）；②、（0，），（3，0），（4，），（7，8）．

【解析】

試題分析：(1)、根據圓與坐標軸相等得出∠PAO=∠OKP=90°，又因為∠AOK=90°則得出四邊形OKPA是矩形，根據OA=OK得出正方形；(2)、①、連接PB，設點P的橫坐標為x，則縱坐標為，根據四邊形為菱形得出△PBC為正三角形，得出PB=PA=x，PG=，根據sin∠PBG的值得出x的值，從而得到PG、PA、BC的值，得出A、B、C三點的坐標；②、根據三點坐標求出二次函數的解析式，然后求出直線BP的解析式，列出方程求出點M的坐標.

試題解析：(1)、四邊形OKPA是正方形．

∵⊙P分別與兩坐標軸相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°． 又∵∠AOK=90°，

∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四邊形OKPA是矩形．又∵OA=OK，∴四邊形OKPA是正方形．

(2)、①、連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為．過點P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，∴BC=PA=PB=PC．∴△PBC為等邊三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=．sin∠PBG=，即．

解之得：x=±2（負值舍去）．∴PG=，PA=BC=2．

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．

∴A（0，），B（1，0）C（3，0）．

設二次函數解析式為：y=ax2+bx+c．據題意得：

解之得：a=，b=－，c=．

∴二次函數關系式為：．

②、設直線BP的解析式為：y=ux+v，據題意得：

解之得：u=，v=-3．∴直線BP的解析式為：．

過點A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：y=x+．

解方程組： 得：；．

過點C作直線CM∥PB，則可設直線CM的解析式為：y=x+t．

∴0=3+t．∴t=－3．∴直線CM的解析式為：y=x－3．

解方程組： 得：；．

綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，8）．