Question

3．如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0）圖象上的一點(diǎn)，矩形OAPB的頂點(diǎn)A，B分別在x軸與y軸上，且邊PB，PA分別交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線EF交x軸于C點(diǎn)，交y軸于D點(diǎn)，連結(jié)OE，OF．現(xiàn)給出下列結(jié)論：①四邊形OEPF的面積為m-k；②DE=CF．則（　　）

• A． ①正確，②正確
• B． ①正確，②錯(cuò)誤
• C． ①錯(cuò)誤，②正確
• D． ①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可對(duì)①解析判斷；作EH⊥x軸于H，F(xiàn)G⊥y軸于G，如圖，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)F（a，$\frac{k}{a}$），則P（a，$\frac{m}{a}$），E（$\frac{ak}{m}$，$\frac{m}{a}$），再證明△DBE∽△DGF，利用相似比得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BE}{GF}$=$\frac{k}{m}$，同樣方法$\frac{CF}{CE}$=$\frac{AF}{EH}$=$\frac{k}{m}$，則$\frac{DE}{DF}$=$\frac{CF}{CE}$，然后利用比例性質(zhì)可得DE=CF，則可對(duì)②進(jìn)行判斷．

解答 解：∵S_△OBE=S_△OFA=$\frac{1}{2}$k，S_矩形PAOB=m，
∴四邊形OEPF的面積=S_矩形PAOB-S_△OBE-S_△OFA=m-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k=m-k，所以①正確；
作EH⊥x軸于H，F(xiàn)G⊥y軸于G，如圖，
設(shè)F（a，$\frac{k}{a}$），則P（a，$\frac{m}{a}$），E（$\frac{ak}{m}$，$\frac{m}{a}$），
∵BE∥FG，
∴△DBE∽△DGF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BE}{GF}$=$\frac{\frac{ak}{m}}{a}$=$\frac{k}{m}$，
∵AF∥AE，
∴△CAF∽△CHE，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{AF}{EH}$=$\frac{\frac{k}{a}}{\frac{m}{a}}$=$\frac{k}{m}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{CF}{CE}$，即$\frac{DE}{DE+EF}$=$\frac{CF}{CF+EF}$，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{CF}{EF}$，
∴DE=CF，所以②正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)象坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不變．判斷②的關(guān)鍵是利用相似比，用k和m表示出$\frac{DE}{DF}$和$\frac{CF}{CE}$．