Question

14．在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，∠AOB=60°，點E為AD邊的中點，AC=8cm，AF⊥BD于點F．求：
（1）AB邊的長度．
（2）線段OE的長度．
（3）線段AF的長度．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出OA=OB=OD=OC，證出△AOB是等邊三角形，得出AB=OA=4cm；
（2）由三角形中位線定理得出OE=$\frac{1}{2}$AB=2cm即可；
（3）由等邊三角形的性質(zhì)得出BF=$\frac{1}{2}$OB=2cm，由勾股定理求出AF即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4cm，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB=OD=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=4cm；
（2）∵OB=OD，點E為AD邊的中點，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=2cm；
（3）∵△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=4cm，
∵AF⊥BD，
∴BF=$\frac{1}{2}$OB=2cm，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$（cm）．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明△AOB是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．