【題目】如圖,在平面直角坐標系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(-4, 1),B(-1,3),C(-1,1)
(1)將△ABC以原點O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△;平移△ABC,若A對應(yīng)的點坐標為(-4,-5),畫出△;
(2)若△繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△,直接寫出旋轉(zhuǎn)中心坐標是__________;
(3)在x軸上有一點P是的PA+PB的值最小,直接寫出點P的坐標___________;
【答案】(1)見解析(2)(-1,-2)(3)P(-,0).
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換與平移變換的定義作出變換后的對應(yīng)點,再順次連接即可;
(2)結(jié)合對應(yīng)點的位置,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)中心;
(3)作出點A關(guān)于x軸的對稱點A’,再連接A’B,與x軸的交點即為P點.
(1)如圖所示,△,△即為所求;
(2)如圖所示,點Q即為所求,坐標為(-1,-2)
(3)如圖所示,P即為所求,
設(shè)A’B的解析式為y=kx+b,
將A’(-4,-1),B(-1,3)代入得
解得
∴A’B的解析式為y=x+,
當(dāng)y=0,時,x+=0,解得x=-
∴P(-,0).
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【題目】感知:如圖,平分,易知:,
探究:(1)如圖,平分.求證:.
應(yīng)用:(2)在圖中,平分,如果,則____________.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點,F是AM的中點,EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長線于點E,交DC于點N.
(1)求證:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.
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【題目】情境觀察:
如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分別為D、E,CD與AE交于點F.
①寫出圖1中所有的全等三角形 ;
②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是 .
問題探究:
如圖2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足為D,AD與BC交于點E.
求證:AE=2CD.
拓展延伸:
如圖3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,點D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足為E,DE與BC交于點F.求證:DF=2CE.
要求:請你寫出輔助線的作法,并在圖3中畫出輔助線,不需要證明.
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【題目】已知△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于E點.
(1)求∠EDA的度數(shù);
(2)AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.
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【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三點.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求拋物線的頂點坐標、對稱軸;
(3)若過點C的直線與拋物線相交于點E(4,m),請連接CB,BE并求出△CBE的面積S的值.
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【題目】建立模型:如圖1,已知△ABC,AC=BC,∠C=90°,頂點C在直線l上.
實踐操作:過點A作AD⊥l于點D,過點B作BE⊥l于點E,求證:△CAD≌△BCE.
模型應(yīng)用:(1)如圖2,在直角坐標系中,直線l1:y=x+4與y軸交于點A,與x軸交于點B,將直線l1繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到l2.求l2的函數(shù)表達式.
(2)如圖3,在直角坐標系中,點B(8,6),作BA⊥y軸于點A,作BC⊥x軸于點C,P是線段BC上的一個動點,點Q(a,2a﹣6)位于第一象限內(nèi).問點A、P、Q能否構(gòu)成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形,若能,請求出此時a的值,若不能,請說明理由.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,∠BAC的平行線交⊙O與點D,過點D的切線分別交AB、AC的延長線與點E、F.
(1)求證:AF⊥EF.
(2)小強同學(xué)通過探究發(fā)現(xiàn):AF+CF=AB,請你幫忙小強同學(xué)證明這一結(jié)論.
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【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°.若固定△ABC,將△DEC繞點C旋轉(zhuǎn).
(1)當(dāng)△DEC統(tǒng)點C旋轉(zhuǎn)到點D恰好落在AB邊上時,如圖2.
①當(dāng)∠B=∠E=30°時,此時旋轉(zhuǎn)角的大小為 ;
②當(dāng)∠B=∠E=α時,此時旋轉(zhuǎn)角的大小為 (用含a的式子表示).
(2)當(dāng)△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時,小楊同學(xué)猜想:△BDC的面積與△AEC的面積相等,試判斷小楊同學(xué)的猜想是否正確,若正確,請你證明小楊同學(xué)的猜想.若不正確,請說明理由.
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