Question

11．已知二次函數(shù)y=-x²+2x+m
（1）如果二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍．
（2）如圖，二次函數(shù)的圖象過點A（3，0），與y軸交于點B，直線AB與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點P，求點P的坐標；
（3）在第（2）問的條件下，動點M在直線AB上方的拋物線上運動（不與A、B重合），設(shè)點M到直線AB的距離為d，求d的最大值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與x軸有兩個交點可知△＞0，從而得到關(guān)于m的不等式，然后求得不等式的解集即可；
（2）將點A的坐標代入拋物線的解析式可求得m的值，從而得到拋物線的解析式，然后將x=0代入拋物線的解析式可求得點B的坐標，然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，然后再求得拋物線的對稱軸方程為x=1，最后將x=1代入直線AB的解析式即可求得點P的縱坐標，從而得到點P的坐標；
（3）連接MB、MA、OM，過點M作MD⊥AB，垂足為D，設(shè)動點M的坐標為（a，-a²+2a+3），由S_△ABM=S_△OAM+S_△OBM-S_△OAB列出△ABM的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，接下來依據(jù)配方法可求得△ABM的最大值，最后依據(jù)三角形的面積公式可求得DM的長，從而得到d的最大值．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，
∴△=2²+4m＞0．
解得：m＞-1．
（2）∵二次函數(shù)的圖象過點A（3，0），
∴0=-9+6+m．
解得：m=3，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3．
∴拋物線的對稱軸為x=1．
∵令x=0，得y=3，
∴B（0，3）．
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b．
∵將點A（3，0），（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直線AB的解析式為：y=-x+3，
∵把x=1代入y=-x+3得y=2，
∴P（1，2）．
（2）如圖所示：連接MB、MA、OM，過點M作MD⊥AB，垂足為D．

設(shè)動點M的坐標為（a，-a²+2a+3）．
∵S_△ABM=S_△OAM+S_△OBM-S_△OAB=$\frac{1}{2}$×3a+$\frac{1}{2}$×3×（-a²+2a+3）-$\frac{1}{2}$×3×3=$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{9}{2}$a=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當a=$\frac{3}{2}$時，△ABM的面積最大，最大值為$\frac{27}{8}$．
∵OB=0A=3，
∴AB=3$\sqrt{2}$．
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•DM，
∴$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{2}$•DM=$\frac{27}{8}$．
解得：DM=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．
∴d的最大值為$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題應(yīng)用了一元二次方程根的判別式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式、配方法求二次函數(shù)的最值，列出△ABM的面積與點M的橫坐標a之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．