Question

【題目】如圖1，已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=CD， BC=AD，P為長(zhǎng)方形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿著A→B→C→D運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)停止，速度為2cm/s，設(shè)點(diǎn)P用的時(shí)間為x秒，△APD的面積為y，y和x的關(guān)系如圖2所示.

（1）AB=________cm, BC=______cm;

（2）寫(xiě)出時(shí),y與x之間的關(guān)系式；

（3）當(dāng)y=12時(shí)，求x的值；

（4）當(dāng)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△APD的周長(zhǎng)最小，若存在，求出此時(shí)∠APD的度數(shù)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=6cm，BC=12cm；（2）y=12x；（3）x=1或11；（4）存在，此時(shí)∠APD =90°

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得從A到B共用了3秒，從B到C用了6秒，速度為2cm/s,則可計(jì)算出AB、BC的長(zhǎng)度；

（2）由三角形面積公式可得: ，△APD的面積=和AP＝2x可得出y與x之間的關(guān)系式；

（3）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)B和CD上時(shí)，求得x的值即可;

（4）作A關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′D與BC交于點(diǎn)P，根據(jù)兩邊之和大于第三邊可知A′D最小，即△APD的周長(zhǎng)最小，求出∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

（1）∵由函數(shù)圖象可得：點(diǎn)P從A到B共用了3秒，從B到C用了6秒，點(diǎn)P的速度為2cm/s

∴AB=6cm, BC=12cm;

（2）如圖所示：

當(dāng)時(shí),點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，AP＝2x,

∴S△ADP=.

（3）如圖所示：

分兩種情況：
①當(dāng)P在A(yíng)B上時(shí)，如圖所示，當(dāng)y=3時(shí)，3=3x，x=1，

②當(dāng)P在CD上時(shí)，如圖所示，則AB+BC+CP=t，

∴PD=3+3+6-t=12-t，
∴y=PDAD=×6×（12-t）=3（12-t），
當(dāng)y=3時(shí)，3=3（12-t），
t=11，
綜上所述，當(dāng)y=3時(shí)，x的值是1秒或11秒；

（4）存在，如圖所示，延長(zhǎng)AB至A′，使AB=A′B，連接A′D，交BC于P，連接AP，
此時(shí)△APD的周長(zhǎng)最小，
∴AA′=AB+BA′=3+3=6，
∴AD=AA′=6，
∴△A′AD是等腰直角三角形，
∴∠A′=45°，
∵∠ABC=90°，
∴BP是AA′的中垂線(xiàn)，
∴AP=PA′，
∴∠A′=∠BAP=45°，
∴∠APD=∠A′+∠BAP=90°．