【題目】如圖,AB為△ABC外接圓⊙O的直徑,點(diǎn)P是線段CA延長線上一點(diǎn),點(diǎn)E在圓上且滿足PE2=PAPC,連接CE,AE,OE,OE交CA于點(diǎn)D.
(1)求證:△PAE∽△PEC;
(2)求證:PE為⊙O的切線;
(3)若∠B=30°,AP= AC,求證:DO=DP.

【答案】
(1)解:∵PE2=PAPC,

,

∵∠APE=∠EPC,

∴△PAE∽△PEC


(2)解:如圖1,

連接BE,

∴∠OBE=∠OEB,

∵∠OBE=∠PCE,

∴∠OEB=∠PCE,

∵△PAE∽△PEC,

∴∠PEA=∠PCE,

∴∠PEA=∠OEB,

∵AB為直徑,

∴∠AEB=90°,

∴∠OEB+∠OEA=90°,

∵∠PEA+∠OEA=90°,

∴∠OEP=90°,

∵點(diǎn)E在⊙O上,

∴PE是⊙O的切線


(3)解:如圖,

過點(diǎn)O作OM⊥AC于M,

∴AM= AC,

∵BC⊥AC,

∴OM∥BC,

∵∠ABC=30°,

∴∠AOM=30°,

∴OM= AM= AC,

∵AP= AC,

∴OM= AP,

∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP,

∴PE2=PA×PC=PA×3PA,

∴PE= PA,

∴OM=PE,

∵∠PED=∠OMD=90°,∠ODM=∠PDE,

∴△ODM≌△PDE,

∴OD=DP


【解析】(1)利用兩邊對應(yīng)成比例,夾角相等,兩三角形相似即可;(2)連接BE,轉(zhuǎn)化出∠OEB=∠PCE,又由相似得出∠PEA=∠PCE,從而用直徑所對的圓周角是直角,轉(zhuǎn)化出∠OEP=90°即可;(3)構(gòu)造全等三角形,先找出OD與PA的關(guān)系,再用等積式找出PE與PA的關(guān)系,從而判斷出OM=PE,得出△ODM≌△PDE即可.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(﹣1,0),(m,0),且1<m<2,當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨x增大而減小,下列結(jié)論: ①abc>0;
②a+b<0;
③若點(diǎn)A(﹣3,y1),B(3,y2)在拋物線上,則y1<y2;
④a(m﹣1)+b=0;
⑤c≤﹣1時(shí),則b2﹣4ac≤4a.
其中結(jié)論正確的有

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:

尺規(guī)作圖:作對角線等于已知線段的菱形.

已知:兩條線段、

求作:菱形,使得其對角線分別等于

小軍的作法如下:

如圖

)畫一條線段等于

)分別以、為圓心,大于的長為半徑,在線段的上下各作兩條弧,兩弧相交于兩點(diǎn).

)作直線點(diǎn).

)以點(diǎn)為圓心,線段的長為半徑作兩條弧,交直線、兩點(diǎn),連接、、、

所以四邊形就是所求的菱形.

老師說:小軍的作法正確”.

該作圖的依據(jù)是_____________________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】計(jì)算下面各題.
(1)計(jì)算: +(1﹣ 0﹣4cos45°.
(2)解方程組:

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與邊BC,AC分別交于D,E兩點(diǎn),過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H.
(1)判斷DH與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:H為CE的中點(diǎn);
(3)若BC=10,cosC= ,求AE的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在邊長為a的正方形上剪去一個(gè)邊長為b的小正方形(ab),把剩下的部分剪拼成一個(gè)梯形,分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積,由此可以驗(yàn)證的等式是( )

A. a2b2(ab)(ab) B. (ab)2a22abb2

C. (ab)2a22abb2 D. a2aba(ab)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一只跳蚤在一數(shù)軸上從原點(diǎn)開始,1次向右跳1個(gè)單位長度緊接著第2次向左跳2個(gè)單位長度,3次向右跳3個(gè)單位長度4次向左跳4個(gè)單位長度,,依此規(guī)律跳下去當(dāng)它跳第100次落下時(shí),所在位置表示的數(shù)是(  )

A. 50 B. -50 C. 100 D. -100

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖O是直線AB上一點(diǎn),OD平分∠AOCDOE=90°,則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(  )

①∠AOD與∠BOE互為余角;②∠AODCOE;③∠BOECOE④∠DOC與∠DOB互補(bǔ).

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】模型與應(yīng)用.

(模型)

(1)如圖①,已知ABCD,求證∠1+MEN2=360°.

(應(yīng)用)

(2)如圖②,已知ABCD,則∠1+2+3+4+5+6的度數(shù)為

如圖③,已知ABCD,則∠1+2+3+4+5+6+…+n的度數(shù)為

(3)如圖④,已知ABCD,AM1M2的角平分線M1 O與∠CMnMn1的角平分線MnO交于點(diǎn)O,若∠M1OMnm°.

在(2)的基礎(chǔ)上,求∠2+3+4+5+6+……+n-1的度數(shù).(用含m、n的代數(shù)式表示)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案