Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為△ABC所在平面內的一點，過D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB于點E、F．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，通過觀察分析線段DE、DF、AB之間的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，當點D在直線BC上，其它條件不變時，試猜想線段DE、DF、AB之間的數量關系（請直接寫出等式，不需證明）；
（3）如圖3，當點D是△ABC內一點，過D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC、直線AB和直線BC于E、F和G．試猜想線段DE、DF、DG與AB之間的數量關系（請直接寫出等式，不需證明）．

Answer 1

【答案】解：（1）DE+DF=AB．理由如下：
如圖1．∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴DE=AF．
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；
（2）當點D在直線BC上時，分三種情況：
①當點D在CB延長線上時，如圖2①，AB=DE﹣DF；
②當點D在線段BC上時，如圖1，AB=DE+DF；
③當點D在BC的延長線上時，如圖2②，AB=DF﹣DE；
（3）如圖3，AB=DE+DG+DF．

【解析】（1）如圖1，先根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出四邊形AEDF是平行四邊形，則DE=AF．再根據平行線及等腰三角形的性質得出∠FDB=∠B，
由等角對等邊得到DF=FB，從而證明DE+DF=AF+FB=AB；
（2）當點D在直線BC上時，分三種情況：
①當點D在CB延長線上時，如圖2①，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DE=AF，再證明∠FDB=∠FBD，由等角對等邊得到DF=FB，從而證明AB=AF﹣BF=DE﹣DF；
②當點D在線段BC上時，如圖1，AB=DE+DF；
③當點D在BC的延長線上時，如圖2②，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DF=AE，再證明∠CDE=∠DCE，由等角對等邊得到CE=DE，再證明從而證明AB=AC=AE﹣CE=DF﹣DE；
（3）如圖3，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DF=AE，再證明∠EGC=∠C，由等角對等邊得到DE+DG=CE，從而證明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．