Question

如圖1，在同一平面內(nèi)，四條線AB、BC、CD、DA首尾順次相接，AD、BC相交于點O，AM、CN分別是∠BAD和∠BCD的平分線，∠B=α，∠D=β．
（1）如圖2，AM、CN相交于點P．
①當(dāng)α=β時，判斷∠APC與α的大小關(guān)系，并說明理由．
②當(dāng)α＞β時，請直接寫出∠APC與α，β的數(shù)量關(guān)系．
（2）是否存在AM∥CN的情況？若存在，請判斷并說明α，β的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)α=β時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，則∠OCD=∠OAB，根據(jù)角平分線定義得∠2=∠4，所以∠APC=∠D=α；②∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，則∠2+β=∠4+∠APC，2∠2+β=α+2∠4，所以∠APC=

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2

（α+β）；
（2）若AM∥CN，則∠4=∠5，由∠5=∠2+∠D得到∠4=∠2+β，同理得∠3=∠1+α，然后把兩等式相加得到α+β=0，由此判斷不存在AM∥CN．

解答：解：（1）如圖2，
①當(dāng)α=β時，∠APC=α．理由如下：
在△ANP和△CND中，∠2+∠D=∠4+∠APC，
在△AOB和△COD中，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，
∵∠D=∠B=α，
∴∠OCD=∠OAB，
∵AM、CN分別是∠BAD和∠BCD的平分線，
∴∠OCD=2∠2，∠OAB=2∠4，
∴∠2=∠4，
∴∠APC=∠D=α；
②當(dāng)α＞β時，∠APC=

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2

（α+β）；

（2）不存在．理由如下：
如圖1，若AM∥CN，則∠4=∠5，
∵∠5=∠2+∠D，
∴∠4=∠2+β，
同理得∠3=∠1+∠B，即∠3=∠1+α，
∴∠3+∠4=∠1+∠2+α+β，
∵AM、CN分別是∠BAD和∠BCD的平分線，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∴α+β=0，
∴不存在AM∥CN．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)．