Question

如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若△AFG繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合）．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明；
（2）△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．在邊BC上找一點(diǎn)D使BD=CE，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證BD²+CE²=DE²；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，（2）中的等量關(guān)系BD²+CE²=DE²是否始終成立？若成立請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）易得∠DAE=∠B=∠C=45°，那么可得∠BAE=ADC，則△BAE∽△CDA，同理可得△ABE∽△DCA；
（2）由BD=CE得BE=CD，那么可得△ABE≌△ACD，則AD=AE，加上（1）中的相似，可得CD=AB=

2

，由OC=1得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出所求的代數(shù)式．
（3）可旋轉(zhuǎn)一特殊角的度數(shù)，求解，得到一般結(jié)論．

解答：解：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA．

（2）∵BD=CE，
∴BE=CD．
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，
∴△ABE≌△ACD．
∴AD=AE．
∵△BAE∽△CDA，
∴CD=AB=

2

，易得CO=1．
∴OD=

2

-1，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1-

2

，0）．
∵BD=2-

2

，CE=2-

2

，DE=2-2BD=2

2

-2，
∴BD²+CE²=DE²．

（3）成立．
證明：將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，
∴△EAD≌△HAD．
∴DH=DE．
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+CE²=DH²即BD²+CE²=DE²．

點(diǎn)評(píng)：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；注意使用前面得到相似的條件；可用兩個(gè)特殊結(jié)論得到相應(yīng)的一般的結(jié)論．