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(1)觀察與猜想:已知當0°<α<60°時,下列關系式有且只有一個正確,正確的是
C
C
(填代號)
A.2sin(30°+α)=sinα+
3
   
B.2sin(30°+α)=2sinα+
3

C.2sin(30°+α)=
3
sinα+cosα.
(2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請利用圖1證明(1)中你猜想的結論;
(3)應用新知識解決問題:
兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內,BD=8
2
,求S△ABC
分析:(1)正確的選項為C;
(2)過A作AD⊥BM,交BC延長線于點M,過C作CE⊥AB,在直角三角形ABM中,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半,得到AM等于AB的一半,再由∠ACM為三角形ABC的外角,利用外角性質得到∠ACM=30°+α,在直角三角形AEC中,表示出EC與AE,在直角三角形BEC中,表示出BE,由AE+EB表示出AB,化簡后即可得證;
(3)由上述結論2sin(30°+45°)=
3
sin45°+cos45°,求出sin75°的值,過A作AE垂直于BC,由BD分別求出AB與BC的長,在直角三角形AB中,利用銳角三角函數定義求出AE的長,利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:解:(1)正確的選項為C;
(2)過A作AM⊥BM,交BC延長線于點M,過C作CE⊥AB,
∵∠AMB=90°,∠B=30°,
∴AM=
1
2
AB,即AB=2AM,
∵∠ACM為△ABC的外角,
∴∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α,
在Rt△ACM中,AC=1,
∴AM=ACsin∠ACM=sin(30°+α),
則AB=2sin(30°+α),
在Rt△AEC中,EC=ACsinα=sinα,AE=ACcosα=cosα,
在Rt△BEC中,BE=
CE
tan30°
=
3
CE=
3
sinα,
則AB=BE+AE=
3
sinα+cosα,
則2sin(30°+α)=
3
sinα+cosα;
(3)∵∠ABD=45°,∠CBD=30°,
∴2sin(30°+45°)=
3
sin45°+cos45°=
6
+
2
2
,
∴sin75°=
6
+
2
4
,
過A作AE⊥BC,
在等腰直角三角形ABD中,BD=8
2
,
∴AB=AD=8,
在Rt△BCD中,BD=8
2
,
∴CD=4
2
,BC=
BD2-CD2
=4
6
,
在Rt△ABE中,sin75°=
AE
AB
,
∴AE=8×
6
+
2
4
=2
6
+2
2

則S△ABC=
1
2
BC•AE=
1
2
×4
6
×(2
6
+2
2
)=24+8
3
點評:此題屬于解直角三角形題型,涉及的知識有:含30°直角三角形的性質,銳角三角函數定義,勾股定理,以及特殊角的三角函數值,熟練性質及定理是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

已知:矩形紙片ABCD中,AB=26厘米,BC=18.5厘米,點E在AD上,且AE=6厘米,點P是AB邊上一動點.按如下操作:
步驟一,折疊紙片,使點P與點E重合,展開紙片得折痕MN(如圖1所示);
步驟二,過點P作PT⊥AB,交MN所在的直線于點Q,連接QE(如圖2所示)
(1)無論點P在AB邊上任何位置,都有PQ
 
QE(填“>”、“=”、“<”號);
(2)如圖3所示,將紙片ABCD放在直角坐標系中,按上述步驟一、二進行操作:
①當點P在A點時,PT與MN交于點Q1,Q1點的坐標是(
 
,
 
);
②當PA=6厘米時,PT與MN交于點Q2,Q2點的坐標是(
 
,
 
);
③當PA=12厘米時,在圖3中畫出MN,PT(不要求寫畫法),并求出MN與PT的交點Q3的坐標;
(3)點P在運動過程,PT與MN形成一系列的交點Q1,Q2,Q3,…觀察、猜想:眾多的交點形成的圖象是什么并直接寫出該圖象的函數表達式.③③
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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•龍巖質檢)觀察、猜想、探究
已知矩形ABCD中,直線l垂直AC于點C,點E是BC上的動點(不與點C重合),過點E作EF⊥AE交直線l于點F.
(1)如圖①,當AB=BC,E為BC中點時,猜想線段AE與FE有何數量關系,并證明你的猜想;
(2)如圖②,已知AB=3,AD=4.
①當點E與點B重合時,求AE:EF的值;
②探究:當點E在線段BC上運動時,AE:EF的值是否發(fā)生改變?若不變,請求出該值并給予證明;若發(fā)生改變,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

(1)觀察與猜想:已知當0°<α<60°時,下列關系式有且只有一個正確,正確的是______(填代號)
A.2sin(30°+α)=sinα+數學公式 
B.2sin(30°+α)=2sinα+數學公式
C.2sin(30°+α)=數學公式sinα+cosα.
(2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請利用圖1證明(1)中你猜想的結論;
(3)應用新知識解決問題:
兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內,BD=8數學公式,求S△ABC

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科目:初中數學 來源:2012年山東省威海市中考數學模擬試卷(解析版) 題型:解答題

(1)觀察與猜想:已知當0°<α<60°時,下列關系式有且只有一個正確,正確的是______(填代號)
A.2sin(30°+α)=sinα+   
B.2sin(30°+α)=2sinα+
C.2sin(30°+α)=sinα+cosα.
(2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請利用圖1證明(1)中你猜想的結論;
(3)應用新知識解決問題:
兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內,BD=8,求S△ABC

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