Question

（1）觀察與猜想：已知當0°＜α＜60°時，下列關系式有且只有一個正確，正確的是

C

（填代號）
A．2sin（30°+α）=sinα+

3

   
B．2sin（30°+α）=2sinα+

3

C．2sin（30°+α）=

3

sinα+cosα．
（2）探究與證明：如圖1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，請利用圖1證明（1）中你猜想的結論；
（3）應用新知識解決問題：
兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內，BD=8

2

，求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）正確的選項為C；
（2）過A作AD⊥BM，交BC延長線于點M，過C作CE⊥AB，在直角三角形ABM中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AM等于AB的一半，再由∠ACM為三角形ABC的外角，利用外角性質得到∠ACM=30°+α，在直角三角形AEC中，表示出EC與AE，在直角三角形BEC中，表示出BE，由AE+EB表示出AB，化簡后即可得證；
（3）由上述結論2sin（30°+45°）=

3

sin45°+cos45°，求出sin75°的值，過A作AE垂直于BC，由BD分別求出AB與BC的長，在直角三角形AB中，利用銳角三角函數定義求出AE的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）正確的選項為C；
（2）過A作AM⊥BM，交BC延長線于點M，過C作CE⊥AB，
∵∠AMB=90°，∠B=30°，
∴AM=

1

2

AB，即AB=2AM，
∵∠ACM為△ABC的外角，
∴∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α，
在Rt△ACM中，AC=1，
∴AM=ACsin∠ACM=sin（30°+α），
則AB=2sin（30°+α），
在Rt△AEC中，EC=ACsinα=sinα，AE=ACcosα=cosα，
在Rt△BEC中，BE=

CE

tan30°

=

3

CE=

3

sinα，
則AB=BE+AE=

3

sinα+cosα，
則2sin（30°+α）=

3

sinα+cosα；
（3）∵∠ABD=45°，∠CBD=30°，
∴2sin（30°+45°）=

3

sin45°+cos45°=

6 + 2

2

，
∴sin75°=

6 + 2

4

，
過A作AE⊥BC，
在等腰直角三角形ABD中，BD=8

2

，
∴AB=AD=8，
在Rt△BCD中，BD=8

2

，
∴CD=4

2

，BC=

BD2-CD2

=4

6

，
在Rt△ABE中，sin75°=

AE

AB

，
∴AE=8×

6 + 2

4

=2

6

+2

2

，
則S_△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

×4

6

×（2

6

+2

2

）=24+8

3

．

點評：此題屬于解直角三角形題型，涉及的知識有：含30°直角三角形的性質，銳角三角函數定義，勾股定理，以及特殊角的三角函數值，熟練性質及定理是解本題的關鍵．