【題目】定義:三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段,且這兩條線段的積等于這個點到該邊所對頂點連線的平方,則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1,△ABC中,點D是BC邊上一點,連結(jié)AD,若,則稱點D是△ABC中BC邊上的“好點”.
(1)如圖2,△ABC的頂點是網(wǎng)格圖的格點,請僅用直尺畫出AB邊上的一個“好點”.
(2)△ABC中,BC=9,,,點D是BC邊上的“好點”,求線段BD的長.
(3)如圖3,△ABC是的內(nèi)接三角形,OH⊥AB于點H,連結(jié)CH并延長交于點D.
①求證:點H是△BCD中CD邊上的“好點”.
②若的半徑為9,∠ABD=90°,OH=6,請直接寫出的值.
【答案】(1)詳見解析;(2)或5;(3)①詳見解析;②.
【解析】
(1)作AB邊上的垂線或中線即可;
(2)作AE⊥BC于點E,根據(jù)三角函數(shù)求出BE、CE、AE的長,設(shè)DE為a,分①若點D在點E左側(cè)②若點D在點E右側(cè),根據(jù)“好點”的定義進(jìn)行求解即可;
(3)①根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”證△AHC∽△DHB,再根據(jù)“好點”的定義判斷即可;
②連接AD,根據(jù)∠ABD=90°判斷AD為直徑,用勾股定理求出AH的長,再根據(jù)勾股定理求出DH的長,根據(jù)①中的結(jié)論求出CH的長即可求得比值.
(1)如圖所示:D點及為AB邊上的“好點”
(2)作AE⊥BC于點E,由,可設(shè)AE=4x,
則BE=3x,CE=6x,
∴BC=9x=9,∴,
∴BE=3,CE=6,AE=4,
設(shè)DE=a,
①若點D在點E左側(cè),
由點D是BC邊上的“好點”知,,
∴,即,
解得,(舍去),
∴.
②若點D在點E右側(cè),
由點D是BC邊上的“好點”知,,
∴,即,
解得,(舍去)
∴.
∴或5.
(3)①∵∠CHA=∠BHD,∠ACH=∠DBH
∴△AHC∽△DHB
∴,即
∵OH⊥AB
∴AH=BH
∴
∴點H是△BCD中CD邊上的“好點”.
②連接AD.
∵∠ABD=90°
∴AD為直徑,
∵OH⊥AB,OH=6
∴ ,BD=2OH=12
∴BH=AH=
∴
由①得:
即
∴CH=
∴.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(﹣3,0)和B(1,0)兩點,交y軸于點C(0,3),點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點,一次函數(shù)的圖象過點B、D.
(1)請直接寫出D點的坐標(biāo).
(2)求二次函數(shù)的解析式.
(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,點G是BA延長線上一點,點F是AC上一點,AG=AF,連接GF并延長交BC于E.
(1)若∠B=55°,求∠AFG的度數(shù);
(2)求證:GE⊥BC.
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【題目】如圖,O的直徑AB長為12,點E是半徑OA的中點,過點E作CD⊥AB交O于點C、D,點P在上運動,點Q在線段CP上,且PQ=2CQ,則EQ的最大值是_________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y1=(x>0)的圖象與y2=(x>0)的圖象關(guān)于x軸對稱,Rt△AOB的頂點A,B分別在y1=(x>0)和y2=(x>0)的圖象上.若OB=AB,點B的縱坐標(biāo)為﹣2,則點A的坐標(biāo)為_____.
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【題目】如圖隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成,長方形的長是12m,寬是4m.按照圖中所示的直角坐標(biāo)系,拋物線可以用y=表示,且拋物線上的點C到OB的水平距離為3m,到地面OA的距離為m.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并計算出拱頂D到地面OA的距離;
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道,那么這輛貨車能否安全通過?
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【題目】如圖,張大爺用32米長的籬笆圍成一個矩形菜園,菜園一邊靠墻(墻長為15米),平行于墻的一面開一扇寬度為2米的門,張大爺還在菜園內(nèi)開辟出一個小區(qū)域存放化肥,兩個區(qū)域用籬笆隔開,并有一扇2米的門相連(注:所有門都用其它材料).
(1)設(shè)平行于墻的一邊長度為y米,垂直于墻的一邊長度為x米,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)設(shè)此時整個菜園的面積為Sm2(包括化肥存放處),則S的最大值為多少?
(3)若此時整個菜園的面積不小于81m2(包括化肥存放處),結(jié)合圖象,直接寫出x的取值范圍.
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【題目】如圖,拋物線交x軸于點A(﹣3,0)和點B,交y軸于點C(0,3).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點P在拋物線上,且,求點P的坐標(biāo);
(3)如圖b,設(shè)點Q是線段AC上的一動點,作DQ⊥x軸,交拋物線于點D,求線段DQ長度的最大值.
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