Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-2ax+c（a＜0）的圖象與x軸負半軸交于點A（-1，0），與y軸正半軸交于點B，頂點為P，且OB=3OA，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經過A、B．
（1）求一次函數(shù)解析式；
（2）求頂點P的坐標；
（3）平移直線AB使其過點P，如果點M在平移后的直線上，且，求點M坐標；
（4）設拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接AP交y軸于點D，若點Q、N分別為兩線段PE、PD上的動點，連接QD、QN，請直接寫出QD+QN的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式即可得出B（0，3），根據(jù)OB=3OA，可求出OA的長，也就得出了A點的坐標，然后將A、B的坐標代入直線AB的解析式中，即可得出所求；
（2）將（1）得出的A點坐標代入拋物線的解析式中，可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式進而可求出P點的坐標；
（3）易求出平移后的直線的解析式，可根據(jù)此解析式設出M點坐標（設橫坐標，根據(jù)直線的解析式表示出縱坐標）．然后過M作x軸的垂線設垂足為E，在構建的直角三角形AME中，可用M點的坐標表示出ME和AE的長，然后根據(jù)∠OAM的正切值求出M的坐標．（本題要分M在x軸上方和x軸下方兩種情況求解．方法一樣．）
（4）作點D關于直線x=1的對稱點D′，過點D′作D′N⊥PD于點N，根據(jù)垂線段最短求出QD+QN的最小值．
解答：解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1
∵OB=3OA，
∴B（0，3）（1分）
∴圖象過A、B兩點的一次函數(shù)的解析式為：y=3x+3（2分）

（2）∵二次函數(shù)y=ax²-2ax+c（a＜0）的圖象與x軸負半軸交于點A（-1，0），與y軸正半軸交于點B（0，3），
∴c=3，a=-1，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3（3分）
∴拋物線y=-x²+2x+3的頂點P（1，4）（4分）

（3）設平移后的直線的解析式為：y=3x+m
∵直線y=3x+m過P（1，4），
∴m=1，
∴平移后的直線為y=3x+1
∵M在直線y=3x+1，且
設M（x，3x+1）
①當點M在x軸上方時，有，
∴，
∴（5分）
②當點M在x軸下方時，有，
∴，
∴，）（6分）

（4）作點D關于直線x=1的對稱點D′，過點D′作D′N⊥PD于點N，
當-x²+2x+3=0時，解得，x=-1或x=3，
∴A（-1，0），
P點坐標為（1，4），
則可得PD解析式為：y=2x+2，
根據(jù)ND′⊥PD，
設ND′解析式為y=kx+b，
則k=-，
將D′（2，2）代入即可求出b的值，
可得函數(shù)解析式為y=-x+3，
將兩函數(shù)解析式組成方程組得：，
解得，
故N（，），
由兩點間的距離公式：d==，
∴所求最小值為（7分）
點評：本題主要考查了一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移等知識點．同時考查了應用軸對稱和垂線段最短解決線段和的最小值問題．