Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，把拋物線C₁：y=-x²沿x軸翻折，再平移得到拋物線C₂，恰好經(jīng)過點A（-3，0）、B（1，0），拋物線C₂與y軸交于點C，拋物線C₁：y=-x²與拋物線C₂的對稱軸交于D點．
（1）求拋物線C₂的表達式．
（2）在拋物線C₂的對稱軸上是否存在一點M，使得以M、O、D為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求點M坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線C₂的表達式為y=a（x+3）（x-1）．由題意可知拋物線C₂的二次項系數(shù)與拋物線C₁的二次項系數(shù)互為相反數(shù)，從而可求得a的值，于是可求得拋物線C₂的表達式；
（2）先求得拋物線C₂的對稱軸，然后可求得點E和點D的坐標，由點O、B、E、D的坐標可求得OB、OE、DE、BD的長，從而可得到△EDO為等腰三角直角三角形，從而可得到∠MDB=∠BOD=135°，故此當當$\frac{MD}{OD}=\frac{OD}{OB}$或$\frac{MD}{OD}=\frac{OB}{OD}$時，以M、O、D為頂點的三角形與△BOD相似．由比例式可求得MD的長，于是可求得點M的坐標．

解答 解：（1）設(shè)拋物線C₂的表達式為y=a（x+3）（x-1）．
∵由翻折可平移的性質(zhì)可知拋物線C₁與拋物線C₂的開口大小相同，方向相反，
∴拋物線C₂的二次項系數(shù)與拋物線C₁的二次項系數(shù)互為相反數(shù)．
∴拋物線C₂的二次項系數(shù)為1，即a=1．
∴拋物線C₂的表達式為y=（x+3）（x-1），整理得：y=x²+2x-3．
（2）如圖所示：

∵拋物線C₂的對稱軸x=-$\frac{2a}$=-1，
∴點E的坐標為（-1，0）．
∵將x=-1代入y=-x²得：y=-1，
∴D（-1，-1）．
∴OE=DE=1．
∴△OED為等腰直角三角形．
∴OD=$\sqrt{2}$，∠EOD=∠EDO=45°．
∴∠DOB=135°．
在Rt△EDB中，DB=$\sqrt{E{B}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵∠DOB=135°，
∴M點只能在D點下方．
∵∠BDM=∠BOD=135°，
∴當$\frac{MD}{OD}=\frac{OD}{OB}$或$\frac{MD}{OD}=\frac{OB}{OD}$時，以M、O、D為頂點的三角形與△BOD相似．
∵當$\frac{MD}{OD}=\frac{OD}{OB}$時，$\frac{MD}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，解得：MD=2．
∴點M的坐標為（-1，-3）．
∵當$\frac{MD}{OD}=\frac{OB}{OD}$時，$\frac{MD}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得：MD=1，
∴點M的坐標為（-1，-2）．
綜上所述點M的坐標為（-1，-2）或（-1，-3）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了平移的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，證得∠BDM=∠BOD=135°是解題的關(guān)鍵．