Question

12．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，正方形CDEF的頂點E在斜邊AB上，且AE=5，BE=8，則△ADE與△BEF的面積和為1780．

Answer 1

分析 設(shè)正方形CDEF的邊長為x，則EF=ED=x，則利用勾股定理表示出BF=$\sqrt{{8}^{2}-{x}^{2}}$，再證明Rt△BEF∽Rt△EAD，利用相似比求出x的值，則開始計算出S_△BEF，然后利用相似三角形的性質(zhì)計算出S_△AED，從而得到△ADE與△BEF的面積和．

解答 解：設(shè)正方形CDEF的邊長為x，則EF=ED=x，
所以BF=$\sqrt{{8}^{2}-{x}^{2}}$，
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠A，
∴Rt△BEF∽Rt△EAD，
∴BF：DE=BE：AE，即$\sqrt{{8}^{2}-{x}^{2}}$：x=8：5，解得x=$\frac{40\sqrt{89}}{89}$，
∴BF=$\frac{64\sqrt{89}}{89}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BF•EF=$\frac{1}{2}$•$\frac{64\sqrt{89}}{89}$•$\frac{40\sqrt{89}}{89}$=1280，
∵$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△AED}}$=（$\frac{8}{5}$）²，
∴S_△AED=500，
∴△ADE與△BEF的面積和=1280+500=1780．
故答案為1780．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了正方形的性質(zhì)．