【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng),連接DP交AC于點(diǎn)Q.
(1)試證明:無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí),都有△ADQ≌△ABQ;
(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△ADQ恰為等腰三角形.
【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到①點(diǎn)B的位置;②在BC上,且到點(diǎn)B的距離為8﹣4處;③運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的位置時(shí),△ADQ恰為等腰三角形.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AD=AB,對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠DAQ=∠BAQ=45°,然后利用“邊角邊”證明△ADQ和△ABQ全等;
(2)分①AQ=DQ時(shí),點(diǎn)B、P重合,②AQ=AD時(shí),根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ADQ=∠AQD,再求出正方形的對(duì)角線AC的長(zhǎng),再求出CQ,然后根根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠CPQ=∠ADQ,從而得到∠CQP=∠CPQ,根據(jù)等角對(duì)等邊可得CP=CQ,從而得到點(diǎn)P的位置,③AD=DQ時(shí),點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)重合.
(1)證明:在正方形ABCD中,無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí),
都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ=45°,
在△ADQ和△ABQ中,,
∴△ADQ≌△ABQ(SAS);
(2)若△ADQ是等腰三角形,
則有①如圖1,AQ=DQ時(shí),點(diǎn)Q為正方形ABCD的中心,點(diǎn)B、P重合;
②如圖2,AQ=AD時(shí),根據(jù)等邊對(duì)等角有∠ADQ=∠AQD,
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,
∴AC==4,
∴CQ=AC﹣AQ=4﹣4,
∵AD∥BC,
∴∠CPQ=∠ADQ,
∴∠CQP=∠CPQ,
∴CP=CQ=4﹣4,
此時(shí)點(diǎn)P在距離點(diǎn)B:4﹣(4﹣4)=8﹣4;
③如圖3,AD=DQ時(shí),點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)重合;
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到①點(diǎn)B的位置;②在BC上,且到點(diǎn)B的距離為8﹣4處;③運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的位置時(shí),△ADQ恰為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y1=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,與雙曲線(x<0)分別交于點(diǎn)C、D,且C點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,2).
(1)分別求出直線AB及雙曲線的解析式;
(2)求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)利用圖象直接寫出:當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí),y1>y2?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖1,等邊△OAB的邊長(zhǎng)為3,另一等腰△OCA與△OAB有公共邊OA,且OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從B、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿BO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng).請(qǐng)回答下列問(wèn)題:
(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△OPQ的面積記為S,請(qǐng)用含有時(shí)間t的式子表示S.
(2)在等邊△OAB的邊上(點(diǎn)A除外),是否存在點(diǎn)D,使得△OCD為等腰三角形?如果存在,這樣的點(diǎn)D共有 個(gè).
(3)如圖2,現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N,連接MN.將∠MCN繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過(guò)程中,△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若沒(méi)有變化,請(qǐng)求出其周長(zhǎng);若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的位置如圖所示,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)將△ABC向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到△A1B1C1,畫出平移后的△A1B1C1;
(2)將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°,得到△A2B2C2,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2,并寫出A2點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為打造“綠色城市”,積極投入資金進(jìn)行河道治污與園林綠化兩項(xiàng)工程.已知2013年投資1000萬(wàn)元,預(yù)計(jì)2015年投資1210萬(wàn)元.求這兩年內(nèi)平均每年投資增長(zhǎng)的百分率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( )
A.x2+x4=x6 B.x3÷x2=x C.(x2)3=x5 D.(2x2)3=2x6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA=6,PB=8,PC=10若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針后得到△P′AB.
(1)求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離;
(2)求∠APB的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,給出下列結(jié)論:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.
其中正確的結(jié)論有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一架梯子AB長(zhǎng)25米,如圖斜靠在一面墻上,梯子底端B離墻7米.
(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高?
(2)如果梯子的頂端下滑了4米,那么梯子底部在水平方向滑動(dòng)了4米嗎?為什么?
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